高中数学《1.6 平面直角坐标系中的距离公式》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
视频教学：
练习：
①在平面直角坐标系中，若第二象限内的点P(a，b)，满足|a|=3，b²=3，那么点P的坐标是多少。
②已知点A(a²-5，6)和点B(a，3a)，若直线AB平行于x轴，那么求点A到y轴的距离。
③平面直角坐标系中，点A与点B(a，b)关于y轴对称，点B关于原点的对称点是C(3，b+4)，求点A的坐标。
④如图平面直角坐标系中，线段AB平移到CD，连接BC，坐标如图，求线段BC的长度。
⑤平面直角坐标系中有点P(m-1，m+1)，把点P向上平移2个单位后正好落在x轴上，
那么想把点P移动到二，四象限的角平分线上，需要向右移动几个单位。
⑥平面直角坐标系中，等边△OAB中，点O是原点，点A(4√3，0)，求AB的中点C的坐标。
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①答案：(-3，√3)
解析：点P在第二象限，所以a<0，b>0。
所以a=-3，b=√3，点P的坐标是(-3，√3)。
②答案：1
解析：因为直线AB平行于x轴，所以A，B纵坐标相等，即6=3a，解得a=2。
点A的坐标是(-1，6)，根据点到y轴的距离等于横坐标的长度，所以它到y轴的距离是|-1|=1。
③答案：A(3，-2)
解析：B与C关于原点对称，根据原点对称的点的坐标特点，可知a=-3，b=-(b+4)，解得b=-2
即点B(-3，-2)，关于y轴对称，那么纵坐标不变，横坐标是相反数，所以点A(3，-2)。
④答案：√65
解析：根据平移规律，
点B与点D的横坐标是6和3，所以向左平移了3个单位。
点A与点C的纵坐标是8和2，所以向下平移了6个单位。
所以a=2-3=-1，b=0+6=6，即点B(6，6)，点C(-1，2)
根据两点距离公式或勾股定理
BC²=(6-(-1))²+(6-2)²=49+16=65，所以BC=√65。
⑤答案：6
解析：向上平移2个单位后正好落在x轴上，可知m+1+2=0，即m=-3。
所以点P(-4，-2)，向右移动则纵坐标不变。
二，四象限的角平分线上的点，横坐标与纵坐标互为相反数，
所以移动到(2，-2)，需要移动向右移动2-(-4)=6个单位。
⑥答案：C(3√3，3)
解析：过点B作BD垂直于OA(三线合一)，可知OD=OA/2=2√3
所以点B的横坐标是2√3。△OAB是等边三角形，所以OB=OA=4√3
根据勾股定理：OB²=BD²+OD²，解得BD=6。
点A(4√3，0)，点B(2√3，6)，根据中点公式。
点C的横坐标：(4√3+2√3)/2=3√3，点C的纵坐标：(0+6)/2=3。
课件：
教案：
【教学目标】
1. 了解两点间的距离公式和中点公式的推导过程．
2. 掌握两点间的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．
【教学重点】
两点间的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．本节教学中，将平面（二维）的数量关系转化为轴（一维）上的数量关系是关键．先从复习上节内容入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离．最后讨论了平面直角坐标系中的中点公式．教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性．
【教学过程】
环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
引 入 | 1．一般地，如果A(x1)，B(x2)，则这两点的距离为 |AB|＝|x2－x1|． 2．一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标x满足关系式 x＝． | 师：上节我们学习了数轴上两点的距离公式与中点公式．那么在平面直角坐标系内，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求这两点的距离？如何计算这两点的对称中心的坐标？ | 提出问题，激发学生的学生兴趣．
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新 课
新 课
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新 课 | 1. 距离公式 探究一 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分别为A1，A2，B1，B2，其中直线BB1和AA2相交于点C． 两点的距离公式 |AB|＝．
探究二 求两点之间的距离的计算步骤： S1 给两点的坐标赋值 x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？ S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dx＝x2－x1，dy＝y2－y1； S3 计算d＝； S4 给出两点的距离d．
例1 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|AB|． 解 因为x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3，所以 dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7． 因此
练习一 求两点之间的距离： （1）A(6，2)，B(－2，5)； （2）C(2，－4)，D(7，2)．
2. 中点公式 探究三 如图所示，若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？
设M(x，y)是A，B的对称中心，即线段AB的中点．过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2．
在平面直角坐标系内，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点M(x，y)的坐标满足 ．
例2 求证：任意一点P(x，y)与点P′(－x，－y)关于坐标原点成中心对称． 证明 设P与P′的对称中心为(x0，y0)，则
所以坐标原点为P与P′的对称中心．
练习二 求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)， B(－3，5)， C(－2，－4)，D(3，－5)．
例3 已知坐标平面内的任意一点P(a，b)，分别求它关于x轴的对称点P′，关于y轴的对称点P′′的坐标．
练习三 求下列点关于x轴和y轴的对称点坐标： A(2，3)， B(－3，5)， C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标． 解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D的坐标为(x，y)，则
解得 所以顶点D的坐标为(0，4)．
练习四 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求顶点D的坐标． | 教师提出探究问题，学生根据已有的知识探究问题的解： （1）以上四个垂足的坐标分别是多少？ （2）|AC|与|A1B1|关系如何？如何求|A1B1|？ （3）|BC|等于多少？ （4）在直角三角形ABC中，如何求|AB|？ （5）你能表示出|AB|吗？ 教师在学生探究的基础上，投影距离公式，并让学生记忆．
师：你能说出求平面上两点间距离的步骤吗？
教师引导学生探究依据公式求两点距离的步骤．
教师引导学生结合求平面上两点间的距离的步骤解答．
学生练习，教师巡视指导．
教师提出要探究的问题，学生解答以下问题： （1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐标吗？ （2）点M是AB中点吗？M1是A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？ （3）M2是A2，B2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？ （4）你能写出点M的坐标吗？
教师投影结论，学生理解掌握．
师：例2中，点P与P′的对称中心是P与P′的中点吗？坐标怎么求？是多少？
教师强调本例题的结论．
学生抢答，教师点评．
师：（1）如果点P与P′关于x轴对称，PP′与x轴垂直吗？P′的横坐标是多少？ （2）PP′与x轴的交点M是线段PP′的中点吗？M点的纵坐标是多少？ （3）你能求出P′的纵坐标吗？怎么求的？ （4）由以上分析，点P′的坐标是多少？ （5）你能求出P′′的坐标吗？ 教师在学生探究的基础上进行总结．
学生抢答，教师点评．
教师引导学生解答，强调AC的中点与BD的中点相同．
教师规范解题步骤．
学生练习，教师巡视．
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将探究问题细化为5个小问题，层层递进，降低了问题的难度，从而有利于学生解答．
为了学生便于理解，课件中将过A，B两点向x轴和y轴做垂线的过程，分解为分别向x轴做垂线和向y轴做垂线两步．
在探究过程中，进一步深化对公式的理解与掌握．
通过例题的解答，使学生明确求两点间距离的步骤．
检验学生对公式掌握情况．
将问题细化为4问，降低难度，学生容易在解答过程中得到公式．
将问题化归为求点P与P?的中点坐标．
检验对例2所得结论的掌握．
检验例3的掌握情况．
利用中点公式解决实际问题，进一步强化对公式的理解和掌握．
强化训练． |
小 结 | 1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称． | 教师引导学生回顾总结本节所学内容．
| 简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． |
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