高中数学《2.2 圆的一般方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x²+y²+Dx+Ey+F=0①
将①配方得：
②(x+D/2)²+(y+E/2)²=D²+E²-4F/4
当时，方程①表示以(-D/2，-E/2)为圆心，以为半径的圆;
当时，方程①只有实数解，所以表示一个点(-D/2，-E/2);
当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形.
故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程.
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
(1)和的系数相同，且不等于0;
(2)没有xy这样的二次项.
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件.
要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了.
视频教学：
练习：
1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是( )
A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0
B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0
D.x2+y2-4x+2y=0
3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
A.2 B.
4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0
B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0
D.x2+y2-4x+6y=0
5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 .半径是 .
课件：
教案：
课题 | 圆的一般方程 | 课型 | 新 |
授课课时 | 1课时 | 授课时长 | 45分钟 |
授课题目(章，节) | 第四章第一节4.2.1圆的一般方程 | ||
教材及参考书目 | 人教A版高中数学实验教科书必修2 | ||
●教学目的与要求 一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。 (2)掌握方程 二、能力目标：(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。 (2)能应用待定系数法求圆的一般方程。 (3)能应用代入法求一般曲线的方程。 (4)培养探索发现及分析解决问题的能力。 三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。 (2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。 ●教学重点 圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程 的步骤 ●教学难点 圆的一般方程和代入法的掌握、应用 ●教学方法 师生合作式探究 诱导启发式教学 ●教学辅助 多媒体教学平台 CAI课件 ●教学过程与时间分配 一、复习提问，引入课题 （3 分钟） 二、探索研究，讲授新课 （22分钟） 三、例题讲解，对应练习 （16分钟） 四、课堂小结，反馈回授 （3 分钟） 五、分层作业，巩固提高 （1 分钟） |
4.2.1圆的一般方程
教学基本内容 | 设计意图 | |||
一、复习提问，引入课题 问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？ 【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。 【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。 二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：
反过来给出一个形如 把 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。 问题：这个方程是不是表示圆？ ⑴当 | ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣. ⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力. ⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦. ⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是 所有的方程都可以 表示圆。使得学生的认识不断加深，同时 | |||
教学基本内容 | 设计意图 | |||
⑵当 即只表示一个点( ⑶当 【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。 【归纳总结】圆的一般方程的特点： ⑴① ②没有 ⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，就能确定圆的一般方程。 ⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明显，圆的标准方程则是几何特征明显。 【师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导，引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。 【辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示 三、例题讲解，对应练习 例1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 ⑴ ⑵ 分析：方法1 利用配方法将其化为圆的标准形式. 方法2 应用圆的一般方程来解，这里D=-1,E=3,F= 例2 求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个 圆的半径长和圆心坐标。 分析：根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的 | 培养思维的严谨性. ⑴归纳知识，有利于学生理清知识脉络. ⑵强调的概念的本质，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征. ⑶深化学生对圆的一般方程的理解. ⑴同步练习，检测学生的掌握情况，及时回授，强化知识点的应用. ⑵加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识，有利于学生更高思维能力的培养. | |||
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一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。 【教师讲解】设圆的方程为 ∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到： ∴所求的方程为 ∴圆心坐标为(4,-3) 或将 【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。 ⑵根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组。 ⑶解出a、b、r或D、E、F并将其代入其相关方程。 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上 分析：如图点A运动引起M运动，而点A在圆上运动点A 的坐标满足方程 就可以建立点M的坐标满足的条件，也就出了M的方程。 | ⑴进一步熟悉圆的一般方程. ⑵通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤. ⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法. ⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用. | |||
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【教师讲解】：设点M的坐标是( 于是有 因为点A在圆 即 把①代入②，得: 整理，得: 所以，点M的轨迹是以( 【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤 ⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标. ⑵写出适合条件的点M的集合. ⑶列出方程 ⑷化方程 【课堂练习】 1 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长 ⑴ ⑶ 2 判断下列方程分别表示什么图形 ⑴ ⑶ | ⑴进一步熟悉圆的一般方程. ⑵掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤. ⑶培养学生运用知识的能力. ⑴总结归纳，把方法系统化，形成能力. ⑴让学生熟悉巩固知识，运用方法，另外还可让学生上台演习各自解题过程. 这样既可及时反馈 学生知识的掌握情况，又可以纠正学生 在解题过程中出现 的各种问题，如方法错误、书写不规范等 | |||
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3 如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3， 求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径.
【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行. ⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点评，最后教师讲解解题过程. 【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教师讲评解题过程. 四、课堂小结，反馈回授 1、对方程 2、圆的一般方程和标准方程的互化. 3、待定系数法求解圆的一般方程. 4、代入法求解曲线的轨迹方程. 五、分层作业，巩固提高 必做题：教材134页3、4 选做题： 1．已知点M与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为 【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业 | 问题. ⑵进一步巩固代入法等数学方法，提高学生的思维能力和运用知识解答问题的能力. ⑴有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识. ⑵有利于学生把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维. ⑶启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力. ⑴必做题与选做题 相结合，面向全体学 生，激发学生兴趣. | |||
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六、板书设计
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