高中数学《2.4 圆与圆的位置关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1、设两圆的圆心连线线长为d，两圆的半径分别为R，r。则两圆有如下位置关系，如下图所示：

（1）、两圆外离d＞R＋r；

（2）、两圆外切d = R＋r；

（3）、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）

（4）、两圆内切d = R－r；（R＞r）

（5）、两圆内含d＜R－r。（R＞r）

2、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。如下图所示，O₁O₂为圆心，AB为两圆的公共弦，则有AB⊥O₁O₂，且AB被O₁O₂平分。

视频教学：

练习：

1、已知⊙O₁与⊙O₂的半径分别为5cm和3cm，圆心距O₁O₂=7cm，则两圆的位置关系为（   ）

A．外离      B．外切

C．相交      D．内切

2、已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（   ）

A．0<d<1

B．d>5

C．0<d<1或d>5

D．0≤d<1或d>5

3、若⊙O₁与⊙O₂相切，且O₁O₂=5，⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂是（    ）

A． 3   B． 5

C． 7   D． 3 或7 

课件：

教案：

【教学目标】

1．知识与技能

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

（3）会用连心线长判断两圆的位置关系。

2．过程与方法

设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l ＞r₁+r₂时，圆C₁与圆C₂相离；

（2）当l = r₁+r₂时，圆C₁与圆C₂外切；

（3）当|r₁ – r₂|＜l＜r₁+r₂时，圆C₁与圆C₂相交；

（4）当l = |r₁– r₂|时，圆C₁与圆C₂内切；

（5）当l＜|r₁ – r₂|时，圆C₁与圆C₂内含。

3．情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

【教学重难点】

用坐标法判断圆与圆的位置关系。

【教学过程】

教学环节	教学内容	师生互动	设计意图
复习引入	1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？	教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流。	结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣。
概念形成	2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 利用连心线的长与两圆半径和、差的关系。	教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法。 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法。	引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法。
应用举例	3．例3  你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？	教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬。同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科。	培养学生“数形结合”的意识。
应用举例	4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系。如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？	师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题。 生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解。	进一步培养学生解决问题、分析问题的能力。 利用判别式来探求两圆的位置关系。
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？	师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置。 生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径。	进一步激发学生探求新知的精神，培养学生。
6．如何判断两个圆的位置关系呢？	师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？ 引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法。	从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法。
方法 拓展 延伸	7．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？	师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法。 生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程。	得出两个圆的相交弦所在直线的方程。
8．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？	师：引导学生验证结论。 生：互相讨论、交流，验证结论。	进一步验证相交弦的方程。
归纳总结	9．课堂小结： 教师提出下列问题让学思考： （1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？ （2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ （3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？	回顾、反思、总结，构建知识体系。
课外作业		学生独立完成	巩固深化所学知识。

备选例题

例1  已知圆C₁：x² + y² – 2mx + 4y + m² – 5 = 0，圆C₂：x² + y² + 2x – 2my + m² – 3 = 0，m为何值时，（1）圆C₁与圆C₂相外切；   （2）圆C₁与圆C₂内含。

【解析】对于圆C₁，圆C₂的方程，经配方后

C₁：(x – m)² + (y + 2)² = 9，C₂：(x + 1)² + (y – m)² = 4．

（1）如果C₁与C₂外切，则有，

所以M² + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5．

（2）如果C1与C2内含，则有，

所以m² + 3m + 2＜0，得–2＜m＜–1．

所以当m = –5或m = 2时，C₁与C₂外切；

当–2＜m＜–1时，C₁与C₂内含。

例2  求过直线x + y + 4 = 0与圆x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程。

例3  求过两圆x² + y² + 6x – 4 = 0求x² + y² + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程。

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