高中数学《1.2 椭圆的简单几何性质》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 椭圆的简单几何性质要结合图形与椭圆的标准方程特征，抓住“七点四线”来进行理解记忆。其中“七点”指四顶点、两焦点和一中心，四线是指两条对称轴和两条准线。

2.  椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度，其取值范围为（0，1），离心率越大椭圆越扁，越小椭圆越圆，求椭圆离心率时，要注意寻找a与b、a与c或a,b,c的关系，其方法主要有：

3.   课本第41面例6，揭示了椭圆的第二种定义形式，可结合教材第43面信息技术应用内容进行探究，值得注意的是：（1）到焦点的距离要与到对应的准线距离作比；（2）给出了到焦点的距离与到准线距离的转化关系，可利用来快速求出到焦点的距离。

视频教学：

练习：

1.已知椭圆C:16x²+4y²=1,则下列结论正确的是(　　)

A.长轴长为         B.焦距为

 C.短轴长为         D.离心率为

【加练·固】

　　 椭圆4x²+49y²=196的长轴长、短轴长、离心率依次是   (　　)

A.7,2,         B.14,4,

C.7,2,         D.14,4,-

2.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于   (　　)

A.         B.         C.         D.

3.设F₁,F₂是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为   (　　)

A.         B.         C.         D.

4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过点F₁作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若tan∠PF₂F₁=,则椭圆的离心率为   (　　)

A.            B.         C.         D.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为　　　. 

6.已知F₁为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l,交椭圆于A,B两点,且△ABF₁的周长的最大值为5b,则该椭圆的离心率为　　　　. 

课件：

教案：

教学目的：

1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质

2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系

3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法

教学重点：椭圆的几何性质

教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质

授课类型：新授课 

课时安排：1课时 

教    具：多媒体、实物投影仪 

内容分析：

根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的  怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位

通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解  通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力

本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性

根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用

教学过程：

一、复习引入：

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

2．标准方程：， （）

3．问题：

（1）椭圆曲线的几何意义是什么？

（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？

（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？

（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？

（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？

（6）画椭圆草图的方法是怎样的？

二、讲解新课：

 由椭圆方程() 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)

(1)范围:

   从标准方程得出,,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中．

(2)对称性:

把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称．换成方程不变，图象关于轴对称．把同时换成方程也不变，图象关于原点对称．

如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称

原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点

令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点：      ，

加两焦点共有六个特殊点.

叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为

分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.

至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．

 (4)离心率:

发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同

这种扁平性质由什么来决定呢？

概念：椭圆焦距与长轴长之比

定义式：

范围：

考察椭圆形状与的关系：

，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例

椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 

三、讲解范例：

例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

解：把已知方程化成标准方程

所以，，

因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，

    将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：

	0	1	2	3	4	5
	4	3.9	3.7	3.2	2.4	0

  先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：

例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：

　　　　（1）　　（2）

答：简图如下：

例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：

　（1）　　　（2）

答：简图如下： 

四、课堂练习：

1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率

解：由题意，=:,即,解得 

2．如图，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积 

解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（),代入椭圆方程求得,即正方形ABCD面积为

五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法 

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