高中数学《3.1 抛物线及其标准方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

要点一、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

要点诠释:

(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值

(2) 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上，若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线.[来源:学科网]

(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.

要点二、抛物线的标准方程

标准方程的推导

如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.

设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.

设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合

将上式两边平方并化简，得. ①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是.

抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式[来源:Zxxk.Com]

，，，。

要点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是。

一般情况归纳：

方程[来源:Z,xx,k.Com][来源:学_科_网]	图象的开口方向	焦点	准线
	时开口向右[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学科网ZXXK][来源:学科网]		[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网]
时开口向左
	时开口向上
时开口向下

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。

视频教学：

练习：

1.已知抛物线的标准方程为y²=ax,则其焦点坐标为 (　　)

A. B.

C. D.

2.抛物线y=x²的准线方程是 (　　)

A.y=-1　 B.y=-2　 C.x=-1　 D.x=-2

3.点M(5,3)到抛物线y=ax²准线的距离为6,那么抛物线的方程是　 (　　)

A.y=12x²　 B.y=12x²或y=-36x²

C.y=-36x²　 D.y=x²或y=-x²

4.抛物线y=2x²的焦点到准线的距离为 (　　)

A. B. C. D.4

课件：

教案：

【教学对象】

一、背景分析

1、课标要求

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

（2）经历从具体情境中抽象出抛物线模式的过程，掌握抛物线的定义、标准方程及简单性质；

（3）了解圆锥曲线的简单应用。

2、本节课在圆锥曲线中的地位：

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。而抛物线在圆锥曲线中的地位仅次于椭圆而高于双曲线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够重视。

3、学情分析

这是一个高二文科班，数学基础较好，逻辑推理能力和数学计算能力一般。在学生已经掌握了椭圆和双曲线的定义、标准方程、几何性质的基础上及初中二次函数的初步认识的基础上学习本节课。

4、学习任务分析

（1）通过现实生活中的例子与几何画板的动画课件，让学生观察、发现、认识抛物线；

（2）直接法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点；

（3）由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程，反之依然。

（4）放手让学生类似推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同；

二、教学目标设计

根据课程标准的要求、教材的具体内容和学生认知心理，我确定本堂课的教学目标如下：

1、知识与能力

（1）让学生理解抛物线的概念

（2）让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。

2、技能与方法

（1）培养建立适当坐标系的能力；

（2）培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。

3、情感态度与价值观

（1）培养学生的探索精神；

（2）渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。

4、教学重点和难点：

根据上述教材的地位、作用、内容与学生情况，我确定教材重点、难点如下：

（1）教学重点：

a 选择适当坐标系探求抛物线的标准方程；

b 标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系；

（2）教学难点：

a 应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题；

b 选择适当坐标系求抛物线的标准方程；

c 争取进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化。

三、教学媒体设计

以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重点。教学中采用实验探究、类比法、图表法。

实验探究：通过几何画板演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线。类比法：由椭圆和双曲线的定义、标准方程的求法，类比得出抛物线的标准方程。类比法使得学生对于教材容易接受，可减轻学生负担。图表法：将抛物线定义、图象、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。

四、教学过程

教师活动	学生活动	设计意图
展示图片	学生欣赏图片中的美	欣赏自然界与人工抛物线建筑的美，渗透美育教育
展示本节课重点	明确本节课的知识重点	让学生明确本节课重点，做到有的放矢
课前回顾：回忆两点距离公式，点到直线的距离公式，椭圆、双曲线的定义及标准方程	课前填写，上课时回答，如果有同学打错，别的同学马上纠正继续回答	回忆本节课需要用到的知识点，让学生回答问题的时候注意准确性和严谨性。
新课引入，回忆初中学过的二次函数	回答两个问题：对抛物线已有哪些认识？二次函数的图象都是抛物线，它们的开口都是什么样的？	结合初中知识，让学生对抛物线有新的认识，寻求抛物线的定义。
初中老师讲的二次函数的图象是抛物线，那么这个是真的吗？抛物线既然是圆锥曲线的一员，它是否也有和椭圆和双曲线一样严格的定义呢？请同学们在课本上找到抛物线的定义并且找到相关的关键词。	学生思考，在课本上寻找抛物线的定义，并且由几个同学完善抛物线的定义中的关键词。	培养学生的质疑能力和探究能力。带着问题寻求答案，同学合作，寻求最佳答案。
揭示抛物线的定义，及定义中的关键词，通过几何画板为学生展示抛物线的图象	观察抛物线图象性质	体会抛物线图象的形状，渗透美育教育并体现数学的严谨性。
追问：如果定点F在定直线l上时，将会是什么曲线	学生思考并回答问题	体现数学的严谨性
如何探究完成抛物线的标准方程？	学生回忆：直接法求曲线方程的步骤，选取适当的坐标系，说明理由	结合以前学生的二次函数的知识，告诫学生数学追求的是“简洁”
教师以开口向右的抛物线为例，展示抛物线的标准方程的推导过程。	学生参与到分析和化简方程的过程中来	告诫学生科学的严谨性，并且在探究科学的道路上，不能有任何的差错。
坐标系的建立是人为行为，如何开口向左，向上，向下，那么抛物线的方程会是怎样？	学生分小组合作，在每组中找出学生完成表格中的内容	学生合作，模仿，探究。
对比抛物线四个标准方程总结它们的特点及标准方程和焦点坐标、准线方程的关系	多名学生总结，汇总大家的结果，使所有学生达成共识。	集体探究，汇集集体的智慧。
例题讲解：例1已知抛物线的方程为y²=6x，及y=4x²，求它的焦点坐标及准线方程。	个别学生作答，尤其是第二个方程y=4x²学生发生分歧	让学生再一次明确抛物线的标准方程什么样子，它和它的焦点坐标及准线方程的关系
小结解题规律，做课本P67练习2	学生独立完成课后习题，教师读学生的解题结果	学以致用，强化认知。
展示例2：已知抛物线的焦点是（0，-2），求它的标准方程。	学生尝试解题，发现规律	强化标准方程与焦点坐标及准线方程之间的关系
变式：已知抛物线的焦点是直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程。	先求焦点坐标，再求抛物线标准方程。	逐步递进，增加难度。
小结解题规律，做课本P67练习1	学生独立完成课后习题，教师读学生的解题结果，有错误出现学生起立订正答案。	学以致用，强化认知。
	学生小组讨论，探究方程表示的是什么？为什么？	深入理解抛物线的定义，而不局限于标准方程
	学生思考，小组讨论，探究定义的真正含义	增加难度，需要学生适当变形，需要学生思考问题更加全面。
堂课总结	学生总结本节课的收获。	让学生说出本节课收获和体验，教师最后总结
课后作业	学生课下完成	本节课内容验收

五、教学反思

本节课的通过现实生活中学生看得见，摸得着的抛物线的实例引入，结合学生已经学过的椭圆与双曲线的研究过程，引领学生一起研究抛物线及其标准方程。而对于抛物线而言它的开口有四个方向，标准方程有四个，其中p为焦点到准线的距离（定点不在定直线上），所以p是有几何意义的，不能为负数。这四个方程从形式上又比较接近，所以在已知抛物线方程的情况下，写出焦点坐标及准线方程对于初学者还是有一些困难的。虽然和学生一起总结了解题方法，但是学生还是比较容易出错，尤其是抛物线方程没有以标准方程呈现的时候。

再有就是在推导其他三个标准方程的时候给学生的时间不够多。有部分学生完成了，就直接让学生将结果呈现在黑板上，没有照顾到全体学生。

在教学过程中，有一位学生在解题过程中，出现了错误，之后马上有学生更正，作为老师没有就出现错误的地方进行深层次的挖掘，没有借着这个机会，找出学生错误的原因，究竟这个错误是学生计算失误，还是具有普遍性，没有好好分析。

在这次课后，我认真反思，真正感受到了中国教育的改革势在必行，作为新课程改革的践行者，我必须从现在开始做好一起准备，首先转变观念，之后从本质上理解新课改的精神，并在自己的日常教学中积极研究探索，希望在我们不懈努力之下，新课改能日期达到预期目标。

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