高中数学《3.2 抛物线的简单几何性质》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

要点三、抛物线的简单几何性质：

抛物线标准方程的几何性质

范围：，，

抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。

对称性：关于x轴对称

抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。

顶点：坐标原点

抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。

离心率：.

抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。

抛物线的通径

通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。

因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄．

抛物线标准方程几何性质的对比

图形
标准方程	y2=2px（p＞0）	y2=－2px（p＞0）	x2=2py（p＞0）	x2=－2py（p＞0）
顶点	O（0，0）
范围	x≥0，	x≤0，	y≥0，	y≤0，
对称轴	x轴	y轴
焦点
离心率	e=1
准线方程
焦半径

要点诠释：

（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；

（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.

视频教学：

练习：

1．已知点P(6，y)在抛物线y²＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)

A．2  B．1  C．4  D．8

【解析】　抛物线y²＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.

【答案】　C

2．(2014·成都高二检测)抛物线y²＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)

A．23  B．4  C．6  D．43

【解析】　据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设Pas4alco1((m24)，m)，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋m24，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋m24＝1＋12＋m2，得m＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.

【答案】　D

3．已知抛物线y²＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1       B．x＝－1

C．x＝2       D．x＝－2

【解析】　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，代入抛物线方程得：yoal(2₁²_{2)＝2px2，  ②}

①－②得，

(y₁＋y₂)(y₁－y₂)＝2p(x₁－x₂)．

又∵y₁＋y₂＝4，∴y1－y2x1－x2＝2p4＝p2＝k＝1，∴p＝2.

∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.

【答案】　B

4．(2014·课标Ⅱ)设F为抛物线C：y²＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)

30)3  B．6  C．12  D．73

【解析】　焦点F的坐标为as4alco1((34)，0)，直线AB的斜率为3)3，所以直线AB的方程为y＝3)3as4alco1(x－(34))，

即y＝3)3x－3)4，代入y²＝3x，

得13x²－72x＋316＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝212，

所以|AB|＝x₁＋x₂＋32＝212＋32＝12，故选C.

【答案】　C

课件：

教案：

1. 教学目标：(1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；

（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。

2. 过程与方法

  学会用类比的思想分析解决问题。

3. 情态与价值观

学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比，了解到事物之间的普遍联系性。

教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
教学方法：学导式，启发式教学过程设计：

教学环节

教学内容

设计意图

1.

温故知新，   引入新课

图形	标准方程	焦点坐标	准线方程
	y2=2px (p>0)
	y2=-2px (p>0)
	x2=2py (p>0)
	x2=-2py (p>0)

通过图表的方式把前面学习的内容复习一遍，这样不但让学生温习了旧知识，而且将对新知识的掌握起到承上启下的作用

2.

新课探讨

以抛物线

y²=2px（p>0）

为例

1.范围

由抛物线y² =2px（p>0）有，又所以

所以抛物线在y轴的右侧。

当x增大时，     也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。所以y的取值范围是

2．对称性

　　以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3.顶点

抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．

4.离心率

　　抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知

标准方程	范围	对称性	顶点	离心率
y2 = 2px （p>0）	x≥0 y∈R	x轴	(0,0)	1
y2 = -2px （p>0）	x≤0 y∈R
x2 = 2py （p>0）	y≥0 x∈R	y轴
x2 = -2py （p>0）	y ≤ 0 x∈R

数形结合，讲解新课，通俗易懂

形因数而精准，数因形而形象。

由此及彼，本表格由学生独立完成，锻炼学生类比，独立自主的能力

3.

三种圆锥曲

线的简单几

何性质比较

学习新知识不忘老知识，比较着学习，总结归纳更容易让学生掌握本课内容。

4.经典例题

例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点     ，求它的标准方程。

解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。所以设方程为：y² = 2px（p>0），又因为点M在抛物线上：，。因此所求抛物线标准方程为：

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)

(x2=2my (m≠0)),可避免讨论

例2.斜率为1的直线  经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。

分析：法一、直线和抛物线联立为方程组，求出两个交点A、B，然后用两点间的距离公式求     的长。

法二、设而不求，利用弦长公式来求      的长。

法三、设而不求，数形结合，利用定义来求      的长。

本题重在考试第三种方法。

如图：设，它们

到准线的距离分别是，

由抛物线的定义可知

所以=+=++P

由题意得过焦点，且斜率为1的直线的方程为y=x-1（1）

化简得

解得

所以: =8

出此题的主要意图是巩固各位学生的基础。此题比较简单，便于各种水平不同的学生掌握。

此题主要是焦点弦问题，求的是焦点弦的弦长。同样很基础，但是方法三很恰当的把抛物线的定义给融合进去，利用定义解决此问题，凸显抛物线与椭圆。双曲线的不同

5.本课小结

1． 范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

2．对称性：抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

3．抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；

4．离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１；

通过小结，让各位同学的知识系统化，结构化，形成自己的知识网络，从而掌握本科知识。

6.练习作业

练习：当堂检测   

作业： 练习案

巩固新鲜的记忆，弥补自己的缺漏。

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