高中数学《1.2 点在空间直角坐标系中的坐标》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

空间中的点

取定空间直角坐标系之后，过空间点P分别做与三个坐标轴垂直的平面，则相应平面与x,y,z轴交点的坐标构成的有序三元数组(x,y,z)称为点P在空间直角坐标系中点的坐标，并将点记作P(x,y,z)；并把x,y,z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标分量；也称为点在各坐标的投影分量。

根据点的坐标可以确定点在空间直角坐标系中的位置；同样，通过建立合适的直角坐标系，也可以给出点在相应坐标系中的坐标。

视频教学：

练习：

1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为(　　)

A.2            B.1           

C.5            D.3

2.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(　　)

A.(2,1,3)            B.(-2,-1,3)

C.(2,1,-3)            D.(2,-1,-3)

3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m²+2,m),下列结论正确的是(　　)

A.此点在xOy坐标平面上           

B.此点在xOz坐标平面上

C.此点在yOz坐标平面上           

D.以上都不对

4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是(　　)

A.10x+2y+10z-37=0

B.5x-y+5z-37=0

C.10x-y+10z+37=0

D.10x-2y+10z+37=0

5.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.

课件：

教案：

3．1　空间直角坐标系的建立

3．2　空间直角坐标系中点的坐标

学 习 目 标	核 心 素 养
1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念. 2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置．(重点、难点)	1.通过空间直角坐标系的建立方法及有关概念培养数学抽象素养. 2.通过在空间直角坐标系中用三元有序数组，刻画点的位置提升直观想象素养.

1．空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系建立的流程图：

平面直角坐标系

↓

通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴

↓

空间直角坐标系

(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：

①伸出右手，让四指与大拇指垂直；

②四指先指向x轴正方向；

③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；

④大拇指的指向即为z轴正方向．

(3)有关名称：

如图所示，

①O叫作原点；

②x，y，z轴统称为坐标轴；

③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，

由x，y轴确定的平面记作xOy平面，

由y，z轴确定的平面记作yOz平面，

由x，z轴确定的平面记作xOz平面．

2．空间直角坐标系中点的坐标

(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．

(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标．

(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组．

(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P₁，P₂，P₃的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．

思考：画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？

提示：不是，空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画为∠xOy＝135°，∠xOz＝135°.

1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　)

A．y轴上　　　　　　　      B．xOy平面上

C．xOz平面上      D．第一象限内

C　[点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．]

2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是(　　)

A.a2＋b2      B．|a|

C．|b|      D．|c|

D　[点P(a，b，c)到坐标平面的距离应为|c|.]

3．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．

(－4,0,0)　[∵点P(－4，－2,3)，

∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4,0,0)．]

求空间点的坐标

【例1】　如图，棱长为1的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E是AB的中点，F是BB₁的中点，G是AB₁的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．

[思路探究]　取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标．

[解]　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝12.

∴E点的坐标为as4alco1(1，(12)，0).

∵B点和B₁点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为as4alco1(1，1，(12)).

同理可得G点坐标为as4alco1(1，(112).

1．空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy面、yDz面、xDz面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．

2．设P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)，则P₁P₂中点P(x，y，z)坐标满足x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，z＝z1＋z22.

[跟进训练]

1．(1)点Mas4alco1(0，26，－(13))所在的位置是(　　)

A．x轴上　　　　　      B．xOz平面上

C．xOy平面内      D．yOz平面内

(2)正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝13|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为(　　)

A.as4alco1((1113)        B.as4alco1((2223)

C.as4alco1((1213)        D.as4alco1((2213)

(1)D　(2)D　[(1)∵M点的坐标为as4alco1(0，26，－(13))，x＝0，

∴点M在平面yOz内．

(2)如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝13|BD′|，所以|DH|＝13|DD′|＝13，|DF|＝23|DA|＝23，|DG|＝23|DG|＝23，所以P点的坐标为as4alco1((2213)，故选D.]

已知点的坐标确定点的位置

【例2】　在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6,4)．

[解]　法一：先确定点M′(2，－6,0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，

则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．

法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．

由点的坐标确定点位置的方法

(1)先确定点(x₀，y_0,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x₀，y₀，z₀)在空间直角坐标系中的位置；

(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x₀|，|y₀|，|z₀|的长方体(三条棱的位置要与x₀，y₀，z₀的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．

[跟进训练]

2．在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6)．

[解]　第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.

求空间某对称点的坐标

[探究问题]

1．平面中，两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P₁(x₁，y₁，z₁)，P₂(x₂，y₂，z₂)的中点坐标是什么？

提示：平面上两点P₁，P₂的中点坐标为as4alco1((x1＋x2y1＋y22)；空间中两点P₁，P₂中点的坐标为as4alco1((x1＋x2y1＋y2z1＋z22).

2．在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？

提示：关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数．

关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．

3．在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？

提示：三个坐标分别互为相反数．

【例3】　求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．

[思路探究]　解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况．

[解]　如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).

[跟进训练]

3．写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．

[解]　(1)点P关于y轴的对称点坐标为P₁(2,1，－4)，

(2)点P关于z轴的对称点坐标为P₂(2，－1,4)，

(3)点P关于面yOz的对称点为P₃(2,1,4)，

(4)点P关于面xOz对称的点为P₄(－2，－1,4)．

1．空间直角坐标系的作图要求

(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．

(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．

(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．

2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系

在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．

(1)过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．

(2)反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A.

1．思考辨析

(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系．            (　　)

(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上．      (　　)

(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)．      (　　)

(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．      (　　)

[解析]　(2)×，∵点P(1,0,2)的纵坐标为0，

∴点P(1,0,2)应在坐标平面xOz上．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是(　　)

A．(2，－1,0)　　　　　      B．(－2，－1,0)

C．(2,1,0)      D．(0，－2,1)

A　[很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．]

3．在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．

(0,2，－3)　[由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．]

4．如图，正四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁(底面为正方形的直棱柱)中，AA₁＝2AB＝4，点E在CC₁上且C₁E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A₁的坐标．

[解]　以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A₁(2,0,4)．

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