高中数学《2.2 成对数据的线性相关性》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
1.向量组与矩阵一一对应
A=[ ]
向量组线性相关 Ax=0有非零解 |A|=0（如果A是方阵）
向量组线性无关 Ax=0只有零解 |A|≠0（如果A是方阵）
2. 判别线性相关性的方法
有n个m维向量：
（1）当m=n时，直接看行列式，若
（2）当m<n时，则n个向量必线性相关
（3）当m>n时，则将矩阵化为行阶梯型，求秩，通过秩来判断线性相关性，若秩等于n，则线性无关；若秩小于n，则线性相关。
视频教学：
练习：
1.为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱,小郑同学分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数,其数值分别为0.939,0.937,0.948,则()
A.甲组数据的线性相关性最强,乙组数据的线性相关性最弱
B.乙组数据的线性相关性最强,丙组数据的线性相关性最弱
C.丙组数据的线性相关性最强,甲组数据的线性相关性最弱
D.丙组数据的线性相关性最强,乙组数据的线性相关性最弱
2.(2020江西高二期中)某相关变量X,Y的散点图如图所示,现对这两个变量进行回归分析,方案一:根据图中所有数据分析,可得到线性回归方程Y=X+,样本相关系数为r1;方案二:剔除点(10,32),根据剩下数据分析,可得到线性回归方程Y=X+,样本相关系数为r2.则()
A.0<r1<r2<1B.0<r2<r1<1
C.-1<r1<r2<0D.-1<r2<r1<0
3.(2020陕西西安高三模拟)北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一,白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰,被称为“北极变暗”现象.21世纪以来,北极的气温变化是全球平均水平的2倍,被称为“北极放大”现象.若北极年平均海冰面积(单位:106 km2)与年平均CO2(单位:ppm)浓度图如图所示,则下列说法正确的是
A.北极年海冰面积逐年减少
B.北极年海冰面积减少速度不断加快
C.北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关
D.北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关
4.现随机抽取了某中学高一10名在校学生,他们入学时的数学成绩X与入学后第一次考试的数学成绩Y如下表:
请问:这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系?
5.维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”Y来衡量,这个指标越高,耐热水性能也越好,而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素,在生产中常用甲醛浓度X(单位:g/L)去控制这一指标,为此必须找出它们之间的关系,现安排一批实验,获得如下数据:
(1)画散点图;
(2)求线性回归方程;
(3)求相关系数r.
课件：
教案：
一、教材分析
1、地位作用
本节课是人教版必修3第二章《统计》第三节《两个变量的线性相关》的第二课时（共有三个课时），主要是能够根据散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，并能利用最小二乘法求出线性回归方程。本节是统计必修内容的最后一节，知识的联系面广，应用性强，承前启后，有助于完成统计必修基础知识的构建，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力。本节内容的选用，不仅突出了数学的人文价值，更注重了信息技术与数学内容的整合。
2016高考新课标Ⅲ文数考察了本节内容。
2、教学重点
根据学生实际情况和课程安排，本节课的重点为:
（1）回归直线的确定和回归方程的推导；
（2）利用公式求解回归直线的方程。
3、教学难点
（1）回归思想学生以前没有接触过，加上这种统计思想本身比较抽象，不容易理解，因此我认为回归思想的建立是本节课的一个难点；
（2）另外，对回归直线与观测数据的关系的理解学生容易陷入绝对化的误区，因此理清此二者之间的关系是本节另外一个难点。
4、难点突破
由于学生的认知水平有限，不能用严格的数学推理来得到回归方程，因此我决定采用数形结合，利用几何直观帮助学生领悟“回归”的意义。
二、学情分析
本节介绍的是一种对样本数据的处理方法，学生已掌握统计学中关于抽样方法、利用样本估计总体等相关知识；懂得直线的方程的求法；具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用，而且前节学习了用散点图来分析变量之间的关系。
三、教学目标
根据上述简析，考虑到学生已有认知结构和心理特征，结合本节课内容我制定了以下教学目标：
1、知识与技能目标
（1）知道最小二乘法的思想，了解其公式的推导过程；（2）会用公式求解回归方程。
2、过程与方法目标
（1）通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。培养学生观察能力、抽象概括能力及探究能力；
（2）通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。
3、情感与德育目标
（1）从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲；
（2）通过寻求有效的数据处理方法，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。开阔学生思路，培养学生的探索精神。
四、教法分析
1、教学方法
本节内容知识量不大，但涉及的数学方法、数学思想较充分，同时，在教材中留有供发现的点，设有开放性问题，适合采用探究式教学方法。
2、学法指导
学生自主参与整个过程，主动地去获取新的知识，学会获取知识的方法。
3、教学手段
为了贯彻新课程理念，进一步推广信息技术与数学课程的整合，本节课师生将使用电子表格进行辅助教学。
五、教学过程
（一）教学流程
（二）教学准备：多媒体教学平台，实物投影仪。
（三）过程
第一阶段：创设情境，提出问题
由课本上生活中的实例引入新知识，激发学生的学习兴趣，主动学习。
提出问题：我们能估计70岁的人体内脂肪含量百分比是多少吗？
分析：这个问题提出以后，很多学生会感到无从下手，根据以往的经验，求值就要有表达式，表达式从何而来呢？给学生一个提示：表达式是变量间相互关系的一种数学描述。因此，问题归结为要找到两个变量间的一种关系。
设计意图 联系现实问题，提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。
第二阶段：形成思路，实施探究
下面我分以下几步来实施探究：
Step1：探究增长方式，引出“线性”回归
Step2：师生合作探究回归直线的确定方法
Step3：用数学的语言来描述回归直线的定义
Step4：探求距离的简化
Step5：解析问题，获得新知
下面首进行第一步：
Step1: 探究增长方式，引出“线性”回归
分析：上节课学习了散点图，它是学生思维的最近发现区。因此要有目的引导学生利用几何直观解决问题。
散点图是研究变量间关系的一种重要方法。借助Excel电子表格画出散点图，让学生观察这些点有什么特点。
引导：为了防止学生思维过于分散，可以提示一下，高一的时候学过三种增长模型：对数型增长，指数型增长，线性增长？让学生分析到底是哪种增长。
在黑板上画出三种基本函数的图像，帮助学生得到“线性”增长。
适时给出回归直线的定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，其根本任务是准确地提示概念的内涵与外延，使学生思考问题、推理验证有所依据，能有创见地解决问题。在这里给出的定义为下面的教学活动指明方向，为探究提供了依据。
Step2: 师生合作探究回归直线的确定方法
给出了回归直线的定义，下面就是根据定义求直线。这个过程由学生自己来完成，采用讨论式教学，可以促进学生的思维能力，挖掘他们的潜力，珍惜每一个知识的获得。
学生分组讨论：怎样作出回归直线？根据学生的认知水平，预计会有以下几种观点：
观点1：回归直线是过两个端点的直线；
观点2：回归直线是过散点最多的直线；
观点3：回归直线是使上下点基本平均分布的直线。在图上选择这样的两点画直线，使得直线两侧点的个数基本相同；
观点4：回归直线是经过样本中心的直线；
观点5：在散点图中多取几组点，确定出几条直线方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距；
观点6：回归直线是各点与之距离最小的直线。所以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时斜率和截距，就可得到回归方程了。
利用多媒体展示出根据上面几种观点作出的回归直线，以直观的方式帮助学生走出认识的误区，分析各自的局限性。
师：单纯的从图形上看不能解决我们的问题，换种思路试试！
Step3: 用数学的语言来描述回归直线的定义
分析：从整体上看大致在一条直线的附近，“附近”是距离小的意思，用什么来表示距离？“从整体上看”说明不是一个个两个点到直线的距离最小，而是所有点的距离之和最小。
Step4：探求距离的简化
让学生计算一下上面的式子，发现式子太复杂，没有办法进行有效的计算。进一步提问：怎样简化？
如果仅仅从式子的形式上去寻找简化的办法，在这里是行不通的，因为绝对值和开根号的计算到目前是没有简化的办法的。那就只能从意义上去寻找。
引导：观察上面的式子，分母相同，分子不同，回顾点和直线距离公式的推导过程，容易有：
师：分子表示什么意思？
生：点到直线的纵距离。
师：可不可以用这个距离代替点到直线的距离？
生：可以，因为因为
Step5:解析问题，获得新知
经过以上四步的的探究，我们发现，用这n个偏差的和
我们最终的目的还没有达到，提示学生们继续观察，发现有的点在直线的上方，有的点在直线的下方，那
前面学习了求方差的过程，在这里可以让学生类比一下，改进算法。
第三阶段：例题解析，知识整合
解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段。现在我们已经可以解决开始提出的问题了：
例1 现在大家来解决一下我们开始提出的问题:估计70岁的人体内脂肪含量百分比是多少.
注：在这里提供规范化的解题过程，帮助学生养成良好的学习习惯，提高思维水平。
另外，结合现代信息技术,我们还可以利用Excel来进行回归方程的求解:
这里让学生体验信息技术在数学学习中应用的乐趣,可以提高学习的兴趣。
在这里还有一个问题值得提醒学生，那就是应用回归方程只能是一种预测，只是说发生这种结果的可能性最大。因此设计下面的例题：
例2 我国是一个人口大国，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间 的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关。我们看下面的统计表1949至1994年人口数据资料如下
年份 | 1949 | 1954 | 1959 | 1964 | 1969 |
人口/百万 | 541.67 | 602.66 | 672.09 | 704.99 | 806.71 |
年份 | 1974 | 1979 | 1984 | 1989 | 1994 |
人口/百万 | 908.59 | 975.42 | 1034.75 | 1106.76 | 1176.74 |
试估计我国2010年的人口数。
请同学们按照以下格式书写：
设计意图：目的是通过对未来人口的预测，让学生进一步体会线性回归思想在实际中的应用。引导学生关注，社会关注生活。
第四阶段：课堂小结
引导学生思考、讨论、概括。小结时注意：
1、我们为什么要学习这节内容，回归直线方程的意义：反映了样本总体变化趋势，可以进行预测。
2、本节课用到以下两种思想方法：方程思想、数形结合思想。
3、求线性回归方程的步骤：
（1）列表（
（3）代入公式求
这样，使学生能回顾总结梳理所学知识，系统掌握所学知识，使课堂效果得到加强。
第五阶段：练习反馈
高考题是高考要求的具体体现，让学生以它们为范例，对于强化“高考意识”十分必要。因此设计了以下练习题：
【2016高考新课标3理数】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合
（II）建立
【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
因为
（Ⅱ）由
所以，
将2016年对应的
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
第六阶段：作业
线性回归在日常生活中有非常广泛的应用，通过联系现实生活中的应用实例，体现数学在实践中的巨大作用。因此我高计了以下作业：
研究班上的同学的身高和前臂长有什么关系。
六、板书设计
七、评价分析
1、在课堂教学设计中，教师不是告诉、讲解探究的步骤，而是启疑生惑，设置探究的情境、建立探究的氛围、激发学生的学习兴趣，让学生主动探索,培养了学生培养学生观察能力、抽象概括能力及探究能力。
2、对学生在探究过程中发生错误及思想的闪光点，均给予正面积极的评价。这无疑在一定程度上帮助了学生克服对科学探究的神秘畏惧心理，增强了探究学习的信心，从而确保了探究教学的顺畅进行。
3、Excel图表在整个教学过程中起到了探索验证的作用，使得学生的学习效率和积极性提高。
数学情趣：
为了让学生感受数学的人文思想，可以给有兴趣的同学提供以下阅读材料：
1、我们由数到形，然后又由形到数，解决了问题，数形结合的思想很重要，有诗一首：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。形数结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！" ——华罗庚
2、“回归”是由英国著名生物学家兼统计学家高尔顿（Galton）在研究人类遗传问题时提出来的。为了研究父代与子代身高的关系，高尔顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数据。他发现身材较高的父母，孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高。对于这个一般结论的解释是：大自然具有一种约束力，使人类身高的分布相对稳定而不产生两极分化，这就是所谓的回归效应。后人就把反映相关变量之间的关系的方程通称为“回归方程”，对两个变量所进行的统计分析叫做回归分析。
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