高中数学《3.3 独立性检验的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

独立性检验的基本步骤：

①根据实际问题需要的可信程度确定临界值k₀；

②利用求K值的公式，计算随机变量K²的观测值K；

③如果K≥K₀，就以(1-P)*100%的把握认为两个变量有关系；否则就说没有(1-P)*100%的把握认为两个变量有关系。

视频教学：

练习：

1.对于分类变量X与Y的随机变量，下列说法正确的是( )

A.越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B.越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C.越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D.越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

2.如表是一个2×2列联表，则表中a,b的值分别为( )

			合计
	a	21	73
	22	25	47
合计	b	46	120

A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52

3.在吸烟与患肺病是否有关的研究中，下列属于两个分类变量的是( )

A.吸烟，不吸烟 B.患病，不患病

C.是否吸烟，是否患病 D.以上都不对

4.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到列联表如下：

	选择物理	不选择物理	总计
男	35	20	55
女	15	30	45
总计	50	50	100

由此得出的正确结论是( )

附：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”

C．有的把握认为“选择物理与性别有关”

D．有的把握认为“选择物理与性别无关”

5.在对某小学的学生进行性别与吃零食的调查中,得到下表数据:

	吃零食	不吃零食	合计
男学生	24	31	55
女学生	8	26	34
合计	32	57	89

根据上述数据分析可得出的结论是( )

A.认为男女学生与吃零食与否有关系 B.认为男女学生与吃零食与否没有关系
C.性别不同决定了吃零食与否 D.以上都是错误的

6.为了研究患慢性支气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如表所示.

	患慢性支气管炎	未患慢性支气管炎	合计
吸烟	43	162	205
不吸烟	13	121	134
合计	56	283	339

根据列联表数据，求得的观测值约为__________.（精确到0.001）

7.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示：

	喜欢甜品	不喜欢甜品	总计
南方学生	60	20	80
北方学生	10	10	20
总计	70	30	100

根据表中数据,________95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”,(填“有”或“没有”)

附:

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

,其中.

8.张经理在策划今年“十一”黄金周营销方案时，将结伴同行的消费者记为一个团体为了了解团体的人均消费高于200元是否与该团体带儿童有关，张经理对去年“十一”期间团体消费情况进行统计他用简单随机抽样的方法抽取300个团体数据，团体的人均消费情况如下:

	高于200元	不高于200元	总计
不带儿童	60	60	120
带儿童	110	70	180
总计	170	130	300

则有的把握认为团体的人均消费高于200元与团体带儿童有关.

参考公式:，其中

参考临界值:

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

9.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时.随机抽查了人,计算发现的观测值,则市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是____________.

10.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在40分以下的学生后,共有男生300名,女生200名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为6组,得到如下所示频数分布表.

分数段
男	3	9	18	15	6	9
女	6	4	5	10	13	2

（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,数学成绩与性别是否有关;

（2）规定80分以上为优分(含80分),请你根据已知条件作出2×2列联表,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”

	优分	非优分	合计
男生
女生
合计100

附表及公式:

	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

课件：

教案：

教学目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

教学重点：独立性检验的基本方法

教学难点：基本思想的领会及方法应用

教学过程

一、问题情境

5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：

某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？

二、学生活动

（1）引导学生将上述数据用下表（一）来表示：（即列联表）

	不患肺癌	患肺癌	总计
不吸烟	7775	42	7817
吸烟	2099	49	2148
总计	9874	91	9965

（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：

在不吸烟者中，有427817≈0.54％的人患肺癌；

在吸烟的人中，有492148≈2.28％的人患肺癌。

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？

三、建构数学

1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。

2、独立性检验：

（1）假设：患肺癌与吸烟没有关系。即：“吸烟与患肺癌相互独立”。用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则有P(AB)=P(A)P(B)

若将表中“观测值”用字母代替，则得下表（二）：

	患肺癌	未患肺癌	合计
吸烟
不吸烟
合计

学生活动：让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。

思考交流：越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越（强、弱）？

（2）构造随机变量（其中）

由此若成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则K²的值应该很小。把表中的数据代入计算得K²的观测值k约为56.632，统计学中有明确的结论，在成立的情况下，随机事件P(K²≥6.635)≈0.01。由此，我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。

上面这种利用随机变量K²来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

说明：估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K²进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据取值越大，效果越好。在实际应用中，当均不小于5，近似的效果才可接受。

（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。

（3）在假设成立的情况下，统计量K²应该很小，如果由观测数据计算得到K²的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K²越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。

3、对于两个分类变量A和B，推断“A和B有关系”的方法和步骤为：

①利用三维柱形图和二维条形图；

②独立性检验的一般步骤：

第一步，提出假设：两个分类变量A和B没有关系；

第二步，根据2×2列联表和公式计算K²统计量；

第三步，查对课本中临界值表，作出判断。

4、独立性检验与反证法：

反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；

独立性检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。

四、数学运用

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

① 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；

第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；

第三步：由学生计算出的值；

第四步：解释结果的含义.

② 通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.

变式练习：课本P97练习

【板书设计】：

【作业布置】：课本P97习题3.2第1题

3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用

课前预习

阅读教材P₉₁-P₉₅，了解相关概念，如：分类变量、列联表、独立性检验。

学习目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

学习重点：独立性检验的基本方法

学习难点：基本思想的领会

学习过程

一、情境引入

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？

二、学生活动

【自主学习】

（1）将上述数据用下表（一）来表示：

	不患肺癌	患肺癌	总计
不吸烟
吸烟
总计

（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：

在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例？；

在吸烟的人中患肺癌的人约占多大比例？。

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？

【合作探究】

1、观察、分析样本数据的列联表和柱形图、条形图，你能得出什么结论？

2、该结论能否推广到总体呢？

3、假设：患肺癌与吸烟没有关系。则两事件发生的概率有何关系？

	不患肺癌	患肺癌	总计
不吸烟	a	b	a+b
吸烟	c	d	c+d
总计	a+c	b+d	a+b+c+d

试用上表（二）中字母表示两概率及其关系，并化简该式。你能得到何结论？

4、构造随机变量（其中），结合3中结论，若成立，则K²应该很 (大、小)

根据表(一)中的数据，利用4中公式，计算出K²的观测值，该值说明什么？（统计学中有明确的结论，在成立的情况下，P(K²≥6.635)≈0.01。）

5、结合表（二）和三维柱形图、二维条形图如何判断两个分类变量是否有关系？利用独立性检验呢？二者谁更精确？

【当堂检测】

在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？

学校：二中学科：数学编写人：游恒涛审稿人:马英济

3.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用

教学目标

通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用K²进行独立性检验．

教学重点：独立性检验的基本方法

教学难点：基本思想的领会及方法应用

教学过程

一．学生活动

练习：

（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数。

（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

性别

非统计专业

统计专业

男

女

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

K²，∵K²，

所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为．（答案：5%）

附：临界值表（部分）：

（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635

二．数学运用

例1 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

	喜欢数学课程	不喜欢数学课程	总　计
男	37	85	122
女	35	143	178
总　计	72	228	300

由表中数据计算得到的观察值. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？

（学生自练，教师总结）

强调：①使得成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；

②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；

③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.

例2、为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示。根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？

	有效	无效	合计
口服	58	40	98
注射	64	31	95
合计	122	71	193

分析：在口服的病人中，有的人有效；在注射的病人中，有的人有效。从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明。

说明：如果观测值K²≤2.706，那么就认为没有充分的证据显示“A与B有关系”，但也不能作出结论“成立”，即A与B没有关系

小结：独立性检验的方法、原理、步骤

三、巩固练习：

某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？

	不健康	健　康	总计
不优秀	41	626	667
优　秀	37	296	333
总　计	78	922	1000

3.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用

学习目标

通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用K²进行独立性检验．

学习重点：独立性检验的应用

学习过程

一．前置测评

（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？。

（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

性别

非统计专业

统计专业

男

女

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

K²，∵K²≥3.841，

所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为。

附：临界值表（部分）：

（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635

二．典型例题

例1 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

	喜欢数学课程	不喜欢数学课程	总　计
男	37	85	122
女	35	143	178
总　计	72	228	300