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高中数学《3.2 等比数列的前n项和》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点:

1求和公式


如果q=1,那么Sn=na1


备注:

针对等比数列,无论题目中给出何种条件的等式,最终均可以根据公式化成只有a1跟q两个未知量,从而进行求解。



2等比中项


如果2m=p+q,则a2m=ap·aq


备注:

题目中如果给出三项的积,通常都可求出中间项为多少。例如已知等比数列a1·a2·a3=8,即可知a2=2,因为a2是a1跟a3的中间项;再如已知等差数列a1·a5·a9=64,即可知a5=4,因为a5是a1跟a9的中间项


推论:如果m+n=p+q,那么一定有am·an=ap·aq

3等比性质

1.如果{an}是等比数列,Sn是数列{an}前n项和,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……也是成比差数列


例题:

已知等比数列{an},Sn是它的前n项和,S6/S3=3,求S12/S3=?

根据上面性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也是成等比数列,令S3=m,则S6=3m,则这个新的等比数列的首项是m(S3),第二项是2m(S6-S3),所以公比d=2m/m=2,即可算出第三项S9-S6=4m,又S6=3m,所以S9=7m,同理可算出S12=15m,则S15/S3=15

变式:

等比数列{an}中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=?



2.如果{an}是等比数列,公比为q,每隔k项之后( a, am+k , am+2k,  am+3k ……)也是等比数列,公差为qk


视频教学:


练习:

课本温习

1. 设Sn是等比数列{an}的前n项和,若a1=1,a6=32,则S3=(  )

 A. 5   B. 6   C. 7   D. 8


2. 若{an}为等比数列,且a2=6,S3=26,则{an}的通项公式an=(  )

A. 2×3n-1   B. 2×33-n

C. 2×3n-1或2×33-n   D. 以上都不对


3. 已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是(  )

A. 2 019   B.  1 023   C.  2 046   D. 3 069


4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3a210a1,a5=9,则a1等于(  )

A. -19   B. 19   C. 16   D. 13


5. 已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-43,则{an}的前10项和等于(  )

A.  -6(1-3-10)   B.  19(1-3-10)

C.  3(1-3-10)   D.  3(1+3-10)

固基强能


6. 已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,则前10项和为(  )

A. 33   B. 36   C. 39   D. 65


7. (多选)已知正项等比数列满足,若设其公比为,前项和,则(    )

A.       B.       C.       D.


8. (多选)已知等比数列中,满足,则(    )

A.数列是等比数列       B.数列是递增数列

C.数列是等差数列       D.数列中,仍成等比数列



9. 记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.

{an}的通项公式为             ;Sn=                          


10. 已知等比数列{an}中,a1=13,公比q=13.

(1) Sn为数列{an}的前n项和,求证:Sn=1-an2;

(2) 设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.

课件:


教案:

【教学目标】

1. 理解并掌握等比数列前n项和公式,并会应用公式解决简单的问题.

2.逐步熟练等比数列通项公式与前n项和公式的综合应用,培养学生的运算能力.

3. 通过公式的探索、发现,培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力,渗透类比与转化的思想.

【教学重点】

等比数列前n项和公式的应用.

【教学难点】

等比数列前n项和公式的推导和灵活运用.

【教学方法】

本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法.师生共同参与整个教学活动,教师是活动的主导,学生是活动的主体,教师在引导的同时,让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

印度一国王与国际象棋发明家的故事:发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒,第2格放入2粒麦粒,第3格放入4粒麦粒,第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒?

教师讲故事,并提出问题.

学生分组合作探究.学生用计算器依次算出各项的值,然后再求和.

教师对他们的这种思路给予肯定.

利用学生好奇心理,让学生去经历知识的形成与发展过程,便于调动学生学习本节课的积极性.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.求数列124,…,262263的各项和

数列124,…,262263是以1为首项,2为公比的等比数列,前面的问题应归结为求这个数列前64项的和,可表示为

S64 = 1+2+4+8++262 +263   

 

 

 

 

 

2S64 = 2+4+8++263 +264    

 

 

 

 

 

 

①-②,得到

 S64 2S64   = 164

(12)S64 = 164

S64 

 

 

 

 

 

 

 

2.等比数列的前项和公式.

q1时,S 

=1时,Sn   n  a1

 

等比数列的前n项和公式,包含四个变量,只要知道其中任意三个,就可求出第四个.

 

1   求等比数列,…的前8项的和.

   因为a 1=q=  = n=8

所以S8 =  = 

练习

根据下列各组条件,求相应的等比数列{an }Sn

1a13q2n6

2a18qn5

 

2   等比数列{an}的公比 q=,前4项的和,求这个等比数列的首项.

   根据等比数列前n项和公式及已知条件可得

解得a1=

即首项为

师:数列124,…,262263是个什么数列?有何特征?前面的问题应归结为什么数学问题呢?

学生思考回答.

 

师:让我们寻找一种更简单的解决这个问题的办法吧.

师:观察①式中的各项有何联系?

学生会发现,后一项都是前一项的2倍.

师:如果我们把每一项都乘公比2,得到②式,请观察各项发生了什么变化?与①式有什么联系?

学生发现,除最后一项外,每一项都变成了①的后一项.

教师继续引导学生比较、探究:①、②两式有许多相同的项,用什么办法可以把相同的项消掉?

学生会想到把两式相减,消去相同的项.

教师板书推导过程,得出求和公式.

教师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程后反思:为什么①式两边要同乘2呢?

 

教师顺势引导学生将结论一般化.

等比数列的前项和公式要分q1=1时两种情况讨论.

请学生说出公式中包含的变量:a 1nSn  

 

学生独立思考,自主解题.

师生共同总结解法.

教师订正评价.

 

 

 

 

 

 

学生练习,教师巡视指导.

 

 

 

 

 

 

教师出示例2,引导学生分析题意,写出已知、所求,自主解答.

请学生在黑板上板演.

师生共同订正.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

教学中,繁难的求解过程激起学生急于探求新方法的欲望,为后面的教学埋下伏笔.

 

留出时间让学生充分地比较,等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减,培养学生的辩证思维能力.

 

让学生在化繁为简的过程中,充分感受到数学的简洁性.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

培养学生分类讨论的意识.

 

在教师的引导下,让学生从特殊到一般,完成公式的探究.

 

通过对例题的解答,强化对公式的掌握.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

等比数列的前n项和公式:

q1时,S 

=1时,S n a1

学生阅读课本P21P22,畅谈本节课的收获.

教师引导梳理,总结本节课的知识点和解题方法.

教师鼓励学生积极回答,培养学生的口头表达能力和归纳概括能力.


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