高中数学《3.2 等比数列的前n项和》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点:
备注:
针对等比数列,无论题目中给出何种条件的等式,最终均可以根据公式化成只有a1跟q两个未知量,从而进行求解。
2等比中项
如果2m=p+q,则a2m=ap·aq
备注:
题目中如果给出三项的积,通常都可求出中间项为多少。例如已知等比数列a1·a2·a3=8,即可知a2=2,因为a2是a1跟a3的中间项;再如已知等差数列a1·a5·a9=64,即可知a5=4,因为a5是a1跟a9的中间项
推论:如果m+n=p+q,那么一定有am·an=ap·aq
1.如果{an}是等比数列,Sn是数列{an}前n项和,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……也是成比差数列
例题:
已知等比数列{an},Sn是它的前n项和,S6/S3=3,求S12/S3=?
解析:
根据上面性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也是成等比数列,令S3=m,则S6=3m,则这个新的等比数列的首项是m(S3),第二项是2m(S6-S3),所以公比d=2m/m=2,即可算出第三项S9-S6=4m,又S6=3m,所以S9=7m,同理可算出S12=15m,则S15/S3=15
变式:
等比数列{an}中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=?
2.如果{an}是等比数列,公比为q,每隔k项之后( am , am+k , am+2k, am+3k ……)也是等比数列,公差为qk
视频教学:
练习:
课本温习
1. 设Sn是等比数列{an}的前n项和,若a1=1,a6=32,则S3=( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 若{an}为等比数列,且a2=6,S3=26,则{an}的通项公式an=( )
A. 2×3n-1 B. 2×33-n
C. 2×3n-1或2×33-n D. 以上都不对
3. 已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是( )
A. 2 019 B. 1 023 C. 2 046 D. 3 069
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )
A. -19 B. 19 C. 16 D. 13
5. 已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-43,则{an}的前10项和等于( )
A. -6(1-3-10) B. 19(1-3-10)
C. 3(1-3-10) D. 3(1+3-10)
固基强能
6. 已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,则前10项和为( )
A. 33 B. 36 C. 39 D. 65
7. (多选)已知正项等比数列
A.
8. (多选)已知等比数列
A.数列
C.数列
9. 记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
则{an}的通项公式为 ;Sn= .
10. 已知等比数列{an}中,a1=13,公比q=13.
(1) Sn为数列{an}的前n项和,求证:Sn=1-an2;
(2) 设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.
课件:
教案:
【教学目标】
1. 理解并掌握等比数列前n项和公式,并会应用公式解决简单的问题.
2.逐步熟练等比数列通项公式与前n项和公式的综合应用,培养学生的运算能力.
3. 通过公式的探索、发现,培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力,渗透类比与转化的思想.
【教学重点】
等比数列前n项和公式的应用.
【教学难点】
等比数列前n项和公式的推导和灵活运用.
【教学方法】
本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法.师生共同参与整个教学活动,教师是活动的主导,学生是活动的主体,教师在引导的同时,让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】
环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
导 入 | 印度一国王与国际象棋发明家的故事:发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒,第2格放入2粒麦粒,第3格放入4粒麦粒,第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒? | 教师讲故事,并提出问题. 学生分组合作探究.学生用计算器依次算出各项的值,然后再求和. 教师对他们的这种思路给予肯定. | 利用学生好奇心理,让学生去经历知识的形成与发展过程,便于调动学生学习本节课的积极性. |
新 课
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| 1.求数列1,2,4,…,262,263的各项和 数列1,2,4,…,262,263是以1为首项,2为公比的等比数列,前面的问题应归结为求这个数列前64项的和,可表示为 S64 = 1+2+4+8+…+262 +263. ①
2S64 = 2+4+8+…+263 +264. ②
①-②,得到 S64 -2S64 = 1-2 64. 即 (1-2)S64 = 1-2 64. S64 = .
2.等比数列的前n 项和公式. 当q≠1时,Sn = ; 当q =1时,Sn = n a1.
等比数列的前n项和公式,包含四个变量,只要知道其中任意三个,就可求出第四个.
例1 求等比数列,,,…的前8项的和. 解 因为a 1=,q= = ,n=8, 所以S8 = = . 练习 根据下列各组条件,求相应的等比数列{an }的Sn: (1)a1=3,q=2,n=6; (2)a1=8,q=,n=5.
例2 等比数列{an}的公比 q=-,前4项的和,求这个等比数列的首项. 解 根据等比数列前n项和公式及已知条件可得 =, 解得a1=. 即首项为. | 师:数列1,2,4,…,262,263是个什么数列?有何特征?前面的问题应归结为什么数学问题呢? 学生思考回答.
师:让我们寻找一种更简单的解决这个问题的办法吧. 师:观察①式中的各项有何联系? 学生会发现,后一项都是前一项的2倍. 师:如果我们把每一项都乘公比2,得到②式,请观察各项发生了什么变化?与①式有什么联系? 学生发现,除最后一项外,每一项都变成了①的后一项. 教师继续引导学生比较、探究:①、②两式有许多相同的项,用什么办法可以把相同的项消掉? 学生会想到把两式相减,消去相同的项. 教师板书推导过程,得出求和公式. 教师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程后反思:为什么①式两边要同乘2呢?
教师顺势引导学生将结论一般化. 等比数列的前n 项和公式要分q≠1与q =1时两种情况讨论. 请学生说出公式中包含的变量:a 1,q ,n,Sn .
学生独立思考,自主解题. 师生共同总结解法. 教师订正评价.
学生练习,教师巡视指导.
教师出示例2,引导学生分析题意,写出已知、所求,自主解答. 请学生在黑板上板演. 师生共同订正.
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教学中,繁难的求解过程激起学生急于探求新方法的欲望,为后面的教学埋下伏笔.
留出时间让学生充分地比较,等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减,培养学生的辩证思维能力.
让学生在化繁为简的过程中,充分感受到数学的简洁性.
培养学生分类讨论的意识.
在教师的引导下,让学生从特殊到一般,完成公式的探究.
通过对例题的解答,强化对公式的掌握.
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小 结 | 等比数列的前n项和公式: 当q≠1时,Sn = ; 当q =1时,Sn = n a1. | 学生阅读课本P21~P22,畅谈本节课的收获. 教师引导梳理,总结本节课的知识点和解题方法. | 教师鼓励学生积极回答,培养学生的口头表达能力和归纳概括能力. |
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