高中数学《1.1 平均变化率》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1、平均变化率概念：

式子称为函数f（x）从x₁到x₂的平均变化率。若设，（这里看作是对于x₁的一个“增量”可用x₁+代替x₂，同样

则平均变化率为

2、平均变化率的几何意义：

表示什么？

视频教学：

练习：

1．函数f(x)＝1x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________．

2．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：

t/min	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
c(t)/ (mg/mL)	0.84	0.89	0.94	0.98	1.00	1.00	0.97	0.90	0.79	0.63

服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．

3．一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m，则这棵树2011年高度的月平均变化率是________．

4．在曲线y＝x²＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1，2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．

5．如图显示物体甲、乙在时间0到t₁范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．

①在0到t₀范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在0到t₀范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；

③在t₀到t₁范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在t₀到t₁范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．

6．已知正弦函数y＝sin x，求该函数在0，(π3))和(ππ2)内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义．

课件：

教案：

一、教学目标

知识与技能：

1、理解平均变化率的概念；

2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程。

过程与方法：

1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2、 通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

情感、态度与价值观：

感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

二、教学重点、难点

重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。

难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。

三、教学方法

引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。

四、教学基本流程

创设情境，引导探索          分析归纳，建立概念        

例题讲解，尝试应用           回顾反思，感悟升华

五、 教学过程（具体如下表）

教学环节	教学内容	师生互动	设计意图	备注
创设情景 、 引入新课 创设情景 引入新课	问题一：速率问题 汽车在启动后的0--10秒内，行驶了200米，那么它行驶的平均速率是多少？ 问题二：高台跳水 播放郭晶晶跳水视频,让学生看高台跳水情形，然后提出问题： 在高台跳水运动中,给出运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），然后给出平均速度的实质： 平均速度实质就是运动员在某段时间内的位移对于时间的平均变化率，在物理上叫平均速度，又把这个问题引导平均变化率上。使平均变化率再次体现变化的快慢. 让学生操作验证： 计算：和的平均速度 在这段时间里， ； 在这段时间里， 然后比较快慢，体现可以用平均速度描述运动的快慢。	给出问题激发学生的求知欲，组织学生讨论、交流，引导学生得到结果。 给学生提出问题，引导学生通过所学的物理知识回答问题，最终引导学生意识到平均速度就是平均变化率，所描述的运动的快慢就是变化的快慢。	利用学生很熟悉的物理问题并从简单的背景出发，有利于学生利用原有的知识解决我们所设置的问题，符合学生的认知规律。，让学生意识到可以用变化率体现事物变化的快慢情况。	平均速度的变化学生们能感同身受，对这个问题的研究能使他们有很好的接受感，从而进一步激发他们强烈的求知欲。
问题三：气球膨胀率 让学生吹气球。 提出问题一：细细体会气球膨胀的过程，你有什么发现？归纳出： 随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢. 提出问题二：怎样从数学的角度描述这种现象? n气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 n如果将半径r表示为体积V的函数,那么 操作实践：， （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?	给学生充分的时间探讨、交流、归纳，得出结论，老师做好引导。	让学生用日常生活中切身感知的事物作为研究对象，有助于提高他们的研究兴趣，激发他们探究的积极性，从而达到我们所要达到的目标。	“随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢”，这句话的归纳得出是这个问题的难点之一，在这儿教师可以做一些引导；其次这个问题的难点是“从数学的角度如何描述这种现象？”。可引导学生类比第一个问题来理解这句话，从而解决问题。
分析归纳 建立概念	让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。	引导学生自己把问题一般化，归纳出函数的平均变化率的概念，并明确它的实际意义；引导学生继续观察平均变化率的表达式，观察他的结构特征，得到平均变化率的几何意义。	通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念。从而达到充分发挥学生的学习主动性，经历和体验概念的建立过程的目的。	让学生积极思考，充分的参与进去，教师做好引导即可。
例题讲解 尝试应用	1、质点运动规律s=t2+3,则在时间（3,4）中相应的平均速度是多少？ 2、质点运动规律s=t2+3,则在时间（3,3+△t）中相应的平均速度 3、求f(x)=x2在x=2附近的平均速度 4、物体按照s(t)=3 t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.	学生亲自利用定义时间操作，独立完成。巩固所学知识。	数学概念形成之后，通过具体例子对公式的应用，巩固概念提高运用能力。	注意解题过程和步骤的引导
探 究		学生通过操作，根据结论思考思考，交流，得到结论：平均速度不能精确的描述运动员的运动状态。并引出瞬时速度。	为下一节课建立导数的概念创造一个良好的问题情境。
回顾反思	1、三个实际变化率问题（体会变化率问题生活中处处可见）——平均变化率——平均变化率的表示 2、思想方法：类比、从特殊到一般 3、课下探究：瞬时速度的求法。	引导学生进行回顾，重温本节课的内容以及平均变化率概念形成的过程。	引导学生小结，不仅仅总结知识，更重要地是让他们再次体会从特殊到一般的数学概念形成的过程。	帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络。
布置作业	练习：1、2

板书设计:

教师在学生探究的基础上，给出问题的答案． 教师板书定义． 教师出示一组数列的例子． 师：数列4，5，6，7，8，9，10；与10，9，8，7，6，5，4是不同的数列． 而集合｛4，5，6，7，8，9，10｝与｛10，9，8，7，6，5，4｝是相同的集合． 强调数列的有序性，集合元素的无序性． 教师利用上面举过的例子，讲解“数列的分类”． 请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列：①②是有穷数列，③④⑤⑥是无穷数列． 同桌之间讨论，完成练习． 教师巡视指导． 观察数列． 1，，，，…． 教师提出问题：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？ 学生分组讨论． 对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项   1            ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1    2   3   4 这个数列的每一项与这一项的序号可用公式 an = 来表示其对应关系．	强调数列的“有序性”，使学生对数列定义有更深刻的认识，又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔． 重视举例这一环节，调动学生的思维，发挥学生的主动性，加深对数列定义的理解． 观察实例，培养学生分类能力． 通过练习，让学生进一步掌握数列的定义． 培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力．
小 结	本节课主要学习了以下内容： 1．数列的定义； 2．数列的分类； 3．数列的通项公式．	学生阅读课本P3～P5上半部分，畅谈本节课的收获，教师引导梳理，总结本节课的知识点．	培养学生自己归纳、总结的学习习惯．

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