高中数学《1.2 瞬时变化率》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是

视频教学：

练习：

1．一质点运动的方程为s＝5－3t²，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．

2．曲线f(x)＝x²＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k为________．

3．已知函数f(x)＝ax²＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________.

4．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

5．已知曲线y＝12x²－2上一点Pas4alco1(1，－(32))，则在点P处的切线的倾斜角为________．

6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x²－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．

课件：

教案：

教学目标：1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；

     2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；

     3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化

问题的能力及数形结合思想．

教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．

教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．

教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．

如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．

因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．

2．探究活动．

如图所示，直线l₁，l₂为经过曲线上一点P的两条直线，

（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；

（2）在点P附近能作出一条比l₁，l₂更加逼近曲线的直线l₃吗？

（3）在点P附近能作出一条比l₁，l₂，l₃更加逼近曲线的直线吗？

二、建构数学

切线定义: 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线． 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．

思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？

三、数学运用

例1　试求在点(2，4)处的切线斜率．

解法一　分析：设P(2，4)，Q(x_Q，f(x_Q))，

则割线PQ的斜率为：

当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；

当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即x_Q无限趋近于2时，k_PQ无限趋近于常数4．

从而曲线f(x)＝x²在点(2，4)处的切线斜率为4．

解法二　设P(2，4)，Q(x_Q，x_Q²)，则割线PQ的斜率为：

当∆x无限趋近于0时，k_PQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x²，在点(2，4)处的切线斜率为4．

练习　试求在x＝1处的切线斜率．

解：设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)²＋1)，则割线PQ的斜率为：

当∆x无限趋近于0时，k_PQ无限趋近于常数2，从而曲线f(x)＝x²＋1在x＝1处的切线斜率为2．

小结　求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤：

（1）找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标；

（2）求出割线PQ的斜率；

（3）当时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．

思考 如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？

解　设

所以，当无限趋近于0时，无限趋近于点处的切线的斜率．

变式训练

1．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；

2．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；

3．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

课堂练习

已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

四、回顾小结

1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．

2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．

五、课外作业、

六、教学反思：

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