高中数学《2.1 导数的概念》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

设M(x₀,y₀),N(x,y)，很明显，MN是割线，MT是切线。大家都知道两点确定一条直线，则割线MN的斜率k_MN=tan φ =(y-y₀)/(x-x₀)=(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)，割线与切线之间的关系是：当点N沿着曲线C趋于点M时，即x→x₀时，极限

若存在，那么此极限是割线MN斜率的极限，也就是切线的斜率，即k_MT=tan α。 

在上述表述中，若割线的斜率极限存在，则此极限值称为函数在点x₀处的导数值，记为f\\\\\\\'(x₀) 或y\\\\\\\'(x₀)，或y\\\\\\\'|_x=x0，或dy/dx|_x=x0 ，三种符号中通常以前三种居多。即

定义注解：当点M沿着曲线C移动至点N时，函数值对应的变化量为Δy=f（x）-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)自变量的变化量为Δx，所以导数的定义又可以定义为

视频教学：

练习：

1.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t³-gt²(g=10 m/s²),则当t=2 s时,它的加速度是   (　　)

A.14 m/s²   B.4 m/s²  

C.10 m/s²   D.-4 m/s²

2.设正弦函数y=sin x在x=0和x=附近的平均变化率分别为k₁,k₂,则k₁,k₂的大小关系为(　　)

A.k₁>k₂   B.k₁<k< span="">₂  </k<>

C.k₁=k₂   D.不确定

3.[2020全国卷Ⅰ,5分]函数f(x)=x⁴-2x³的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)

A.y=-2x-1   B.y=-2x+1

C.y=2x-3   D.y=2x+1

4.[多选题]下列说法正确的是(　　)

A.f \\\\\\\'(x)与f \\\\\\\'(x₀)(x₀为常数)表示的意义相同

B.曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义不同

C.(sin )\\\\\\\'=cos 

D.(log₂x)\\\\\\\'=

5.[2018全国卷Ⅲ,5分]曲线y=(ax+1)e^x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　. 

6.[2018天津,5分]已知函数f(x)=e^xln x,f \\\\\\\'(x)为f(x)的导函数,则f \\\\\\\'(1)的值为　　　　. 

7.[陕西高考,5分]设曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　.  

课件：

教案：

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。

【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

【教学过程】：

一）导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：，，求：落体在时刻（）的瞬时速度。

问题解决：设为的邻近时刻，则落体在时间段（或）上的平均速度为

若时平均速度的极限存在，则极限

为质点在时刻的瞬时速度。

问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线上点，求：点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线及曲线上的一点，如图，在外上另外取一点，作割线，当沿着趋近点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线。

问题解决：取在上附近一点，于是割线PQ的斜率为

（为割线的倾角）

当时，若上式极限存在，则极限

    （为割线的倾角）

为点处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问

题的解决都归结到求形如

                                                （1）

的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三）导数的定义

定义  设函数在的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即

                     （2）

也可记作，，。若上述极限不存在，则称在点处不可导。

在处可导的等价定义：

设，若则等价于，如果

函数在点处可导，可等价表达成为以下几种形式：

                            （3）             

                        （4） 

                         （5）

四）利用导数定义求导数的几个例子

例1求在点处的导数，并求曲线在点处的切线方程。

解　由定义

于是曲线在处的切线斜率为2，所以切线方程为，即。

   例2  设函数为偶函数，存在，证明：。

证     

 又

注意：这种形式的灵活应用。此题的为。

例3 讨论函数 在处的连续性，可导性。

解 首先讨论在处的连续性：

即在处连续。

     再讨论在处的可导性：

  此极限不存在

即在处不可导。

问 怎样将此题的在的表达式稍作修改，变为在处可导？

答   ，即可。

四）可导与连续的关系

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设在点可导，则

由极限与无穷小的关系得：

，

所以当，有。即在点连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。                      

五）单侧导数的概念

例4 证明函数在处不可导。

证明　，

极限不存在。

故在处不可导。

    在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义  设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限

 （）

存在，则称该极限为在点的右导数，记作。

左导数   。

左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数在点的某邻域内有定义，则存在，都存在，且=。

例5  设，讨论在处的可导性。

解　由于

从而，故在处不可导。

六）小结:

本课时的主要内容要求：

①深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

②注意这种形式的灵活应用。

③明确其实际背景并给出物理、几何解释；

④能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

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