高中数学《6.1 函数的单调性》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

视频教学：

练习：

1．在下列结论中，正确的有(　　)

(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；

(3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A．0个　　　 B．2个 C．3个 D．4个

2．函数f(x)＝ax³－x在R上为减函数，则(　　)

A．a≤0 B．a<1< span=""> C．a<2 D．a≤13

3．函数f(x)＝2^x＋x³－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)

A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　 D．3

4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

A．y＝sinx B．y＝xe²C．y＝x³－x D．y＝lnx－x

5．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)

课件：

教案：

教学基本信息
课名	导数在研究函数中的应用 ---利用导数判断函数的单调性(第一课时 )
是否属于地方课程或校本课程	否
学科	数学	学段	第一学段	年级	高二	授课日期
教材	书名：普通高中课程标准实验教科书出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 6 月

教学设计大赛

指导思想与理论依据

导数概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．导数准确的揭示了自变量变化对相应函数值变化的影响，是对函数关系作为一种特殊对应关系认识的提升，“它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一，具有丰富的实际背景和广泛的应用。

在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。

《数学课程标准》指出“学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”，教材对这部分内容的形式化程度得到很好的体现，突出了对数学概念本质理解的“返璞归真”，体现了“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”的思想，从而有利于学生摆脱符号的束缚，以便充分发挥他们的思维潜能。

单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路,结合最近发展区理论,整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。

教学背景分析

1.学习内容分析

(1)单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。

(2)这节课是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。

2.学生情况分析

(1).已有的知识储备

(1.1)本节课的授课对象是北医附中高二年级的理科重点班的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。

(1.2) 学生基本能够借助单调性的定义来研究较为简单函数的单调性，基本了解基本初等函数的图象特征和基本性质，且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。

(2).存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生对使用单调性定义处理较复杂函数问题的能力不够，数学的抽象概括能需要进一步提升。

3.教学模式

基于学生存在的问题，教学中采取问题引领、学生讨论、合作探究，演绎辨析，逐步得出利用导数研究函数单调性的方法。

教学目标与重、难点

【教学目标】

知识与技能：了解函数的单调性与导数的关系。

过程与方法：

1.通过实例，借助几何直观探索、归纳并了解函数的单调性与导数的关系。

2.经历“发现、猜想、实验、分析、归纳”的过程，感受研究数学问题方法的学科素养．

情感态度与价值观。

1.在探究函数单调性与导数之间关系的过程中，体会数形结合的思想，感受知识之间的相互联系与运动变化。

2.经历“面对问题、分析问题、解决问题”的过程。

【教学重点】探究函数的单调性与导数的关系。

【教学难点】发现和揭示导数与函数单调性的关系。

【教学工具】借助多媒体课件等工具。

教学流程示意

整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。教学流程示意图如下：

教学过程

（一）提出问题寻找工具

材料1.

据某医药杂志报道：为研究某种流感疫苗的疗效，在临床试验中，经过统计发现，流感疫苗注射入人体后，经过实验检测发现，血液中的药物浓度与时间近似地满足关系：

教学过程

设计意图

教师、学生活动

教学预设

1.在分析函数：

的单调性、图像时，已有的办法不凑效，这样造成认知上的冲突，寻找新的“工具”来研究函数的单调性就显得很必要；自然引入本节课的主要任务：寻找新工具来研究函数的单调性。

2.数学中一个新知识的引入，首先要回答的是“为什么需要”

教师ppt出示材料1

学生讨论以下几个问题：

1.如果你是一位药物工作者，你会关注什么问题？

2.血液中药物的浓度是如何变化的？

3.血液中的药物浓度会达到某个最值吗？何时达到？

4. 分析其最值，有什么办法？

5.你能分析该函数的单调性吗？

1.关注药物在血液中的浓度问题。

2.若学生对问题2的回答

“分析浓度与时间变化规律”,则可进一步追问：什

么规律？是随时间的增加而

增大（或减小）吗？

对于问题3的讨论，若学生回答“何时达到最值”有困难，此时利用问题4引导学生回答：可以利用函数的单调性来分析“何时达到最值”

对于问题5：学生可能会回答用函数单调性的定义，此时可以让学生尝试用定义，发现不凑效，进而提出：有没有其它工具来分析函数的单调性。

（二）分析问题发现工具

（ppt出示）材料2：竖直上抛一个小沙袋，沙袋运动过程中，其位移是时间的函数，设，试分析其位移的变化情况？

教学过程

设计意图

教师、学生活动

教学预设

1.引导学生发现导数与函

数单调性之间的联系是本节课的难点；基于学生的学科认知及微积分建立的过程，选择情境2这个学生在物理学科中常见的模型，这个模型很好的反映了“瞬时速度”与位移X之间的关系，而“瞬时速度”就是，进而让学生发现：利用函数的导数或许是研究函数单调性的新“工具”。

2．通过让学生探究熟悉情境

的过程中，获得解决新情境

问题的灵感或猜想，符合学生的最近发展区,也更符合学生的认知规律，也是研究新问题的重要思路和方法。

教师ppt出示材料2，并引导学生围绕以下几个问题展开讨论（以下问题渐近呈现给学生）：

1. 随时间的变化，沙袋的位移是如何变化的？画出位移X随时间t变化的图像; 画出速度V随时间t变化的图像

2.引起这种变化的原因是什

么？

3.瞬时速度的方向如何在V-t图像上表征出来的?

4. 从函数的角度看，如何对位移随时间的变化规律进行表述？

对于问题1，学生应该能比较容易得到：“随时间的变化，沙袋的位移是先增大，而后减小”，但对问题2中的引起这种变化的原因，学生不一定能说的很清楚，此时教师可提示从瞬时速度分析变化的原因。

对于问题2，学生可能能分析出:瞬时速度的方向变化引起了位移的变化,但说出：“瞬时速度为正，则递增，瞬时速度为负，则递减” 这样的猜想可能有困难，此时给出问题3.但此时学生不会太有“区间”的意识。

通过问题4引导学生从“瞬时速度”与“位移函数的导数”间的关系，让学生在脑袋中逐渐意识到：导数的符号与函数单调性之间存在某些关系，而这种关系可能就是要寻找的工具；

（三）选择问题验证工具

教学过程

设计意图

教师、学生活动

教学预设

1.通过操作实验、进一步并达成对“函数的导数可以作为研究函数单调性的新工具”这一猜想的认同感；体会数形结合的思想方法。

2.在多样性“实验样本”的验证过程中，逐渐让学生关注导数符号发生变化的“区间”。

3. 学生在经历:操作实验、验

证猜想的过程中感受并体会

研究一个数学问题的一般思

路，提高学生的学科基本素

养．

1.教师分发合作探究任务单（任务单见附件1），小组为单位，共同讨论选择2-3个具体的函数验证“导数与函数的单调性关系”这一猜想；教师巡视过程中，提醒学生尽可能选与周围同学不同的函数，以获得更多的“实验样本”.

2.教师选择比较有代表性的小组汇报并使用实物投影展示。

1.学生首先会选学过的基本初等函数验证，并达成对“函数的导数可以作为研究函数单调性的新工具”这一猜想有进一步的认同感。

2.若出现学生举例的函数大多可能会集中在导数的符号恒大于（小于）零。可补充一些使导数在不同区间上符号发生变化的函数

3.学生可能选择函数:

有可能学生提出：“存在导数为零的实数 ,如何写单调区间的问题”

可以让学生讨论,最后形成共识:对于可导函数,如果导数为零的实数是有限且离散,即不形成连续区间的时,则不足以影响函数的单调趋势;另还可以做一些相关的说明，中学阶段一般研究函数的严格单调区间。

（四）演绎推理、论述工具

教学过程

设计意图

教师、学生活动

教学预设

函数的单调性和导数都刻画了“函数自变量的变化与函数值的变化”的关系，两者之间必然有联系；另一方面是导数源于“平均变化率”，而函数单调性定义的本质是“平均变化率”，因而导数与函数的单调性存在着“天然”的关系。

1.数学中引入一个新的

“工具”时，需要回答

两问题：

一是：为什么需要？

二是：为什么会是它，或者为什么它可以？通过演绎推理，从更一般的情况，对导数与函数单调性之间的关系作出论述。

2.抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，从“数”的角度分析猜想的合理性和普适性，揭示了导数成为研究函数单调性的新“工具”是一个必然。

学生回忆并表述函数单调性和导数的定义，教师出示函数单调性的定义在PPT上。

第一阶段：引导从两个定义出发,若学生讨论没有结果则提示学生围绕下列问题讨论：

(1).你能发现函数单调性的定义与平均变化率之间有什么关系吗？

(2).这种关系能否用数学符号表达？

(3).平均变化率的符号与瞬时变化率符号之间是什么关系？

第二阶段：学生归纳、表述:

对于可导函数，若在某区间上，

则为该区间上的增函数；

若在某区间上，则为该区间上的减函数．

第一阶段的处理过程中：

1.由于函数单调性的定义是在高一上学期学的，学生回忆该定

义时，有可能不能准确、完整的加以表述。

2.通过问题（1）、（2）的讨论，学生归纳出以下关系：

对于

在上单增（减）；

3.在讨论问题（3）的过程中，可能面临的一个问题是：如何由“平均变化率”的符号得到“导数”与之相同的符号？对于这一问题，可以通过将“割线”平移成“切线”的办法做直观的解释（ppt演示），毕竟对这个问题的严格证明需用到“拉格朗日中值定理”等高等数学的知识。对此可以作为课外拓展，让学生自行查阅相关内容

第二阶段学生在归纳表述过程中可能会出现以下几个方面的问题：

一是：学生对于“函数在区间上可导”这一条件容易忽视，教师可以通过举数列的例子做一些引导。

二是：对“某区间”的理解不到位，引导学生指出“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”

三是：若在某区间上恒成立，则为该区间上的常函数．

四是：有可能学生提出：“可导函数，若在某区间上，则为该区间上的减函数”这一问题，则可以做一些相关的说明，中学阶段一般研究函数的严格单调区间。

（五）处理存疑、使用工具

教学过程

设计意图

教师、学生活动

教学预设

从提出问题、面对问题，在经历了“发现、猜想、实验、分析、归纳”的过程之后，让学生重新回到最先开始的存疑，并解决，前后呼应，让学生进一步体会从发现问题到解决问题的过程。

思考问题（2）中的几个问题，学生通过比对问题②③，让学生进一步感受导数本身又是一个函数，考虑导函数的性质，自然会想到对导数求导（即二阶导）。

注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫

1.学生使用导数工具，处理材料1中存疑的问题，即药物在血液中浓度变化情况，并对结果解释其实际意义。教师点评。

2.思考（备用）

(1).画出函数

的图像

(备用)(2).已知函数和

①验证函数及的单调性

②分析两个函数单增性质在图像上的不同呈现

③这样的研究对思考(1)中图像研究有帮助吗？

3.学生小结本节课的内容。

4．作业

必做题：课本P27 A组第2、3、4题．

选做题：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有吗？

学生在有了导数这个新的工具之后，应该能比较快的使用该工具解决情境1中的部分问题，但函数的定义域可能是学生容易忽视的地方；

在画函数

的图像时，学生可能会画出不同的增减趋势。

思考问题（2）中的几个问题，学生通过比对问题②③，会发现导数的导数刻画了增减的快慢。

从知识和方法上，让学生进行小结

六.学习效果评价

通过课堂上学生讨论的情况、与教师互动的情况及课下作业等

七.教学设计特色

单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。本节课的教学设计有以下几个方面的特色：

1.关注生活层层导入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入环节的第一阶段，利用生活中的服药后血液中的药物浓度问题，引起学生认知上的冲突，自然导入本节课研究的问题：寻找工具解决函数的单调性；在引入环节的第二阶段：利用学生熟悉的物理背景，通过物体的运动变化规律及其原因进行分析，发现其瞬时速度的方向发生变化会引起物体位移增大或减小，再结合导数的物理意义，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，发现研究函数单调性的工具，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.

2.关注探究合作生成

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解. 由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．

3.关注演绎、具体到抽象

在学生通过验证已经学过的常见函数，深化对所得结论的理解之后，再从“形”回到 “数”，抓住导数和单调性的定义之间的联系提炼一般性的结论，进一步引导学生经历从特殊到一般、具体到抽象的过程，有效培养学生的数学学科素养。

4.关注应用、数形结合

回到材料1中的存疑，强化了应用，加深了对结论的理解；在了解函数的性质基础上，要求学生画出材料1中的函数大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并体会导函数在研究原函数单调性及增减快慢上的应用，突显了利用导数研究复杂函数单调性的优越性；问题逐层推进，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

八. 教学反思与改进

在设计问题情境时，我们还是着眼于让学生发现导数在研究函数单调性上的应用，其实思维可以更广阔一些，问题可以更开放一些，比如放手让学生探究导数可以研究函数的哪些性质呢？由学生自己从文字、符号、图形等方面发掘导数可以研究函数的单调性，这样可以让学生更好的学会联系、学会思考，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

附件1：学生小组合作单

举出几个函数，验证导数与函数单调性之间的联系