高中数学《6.2 函数的极值》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1.函数的极值
　（1）函数的极小值
　　函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f\\\\'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f\\\\'(x)＜0，右侧f\\\\'(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
　（2）函数的极大值
　　函数y＝f(x)在点x=b的函数值f(a)比它在点x=b附近其它点的函数值都大，f\\\\'(b)=0，而且在点c=b附近的左侧f\\\\'(x)＞0，右侧f\\\\'(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
　　极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2．求函数 的极值的方法：
　　解方程f\\\\'(x)=0，当f\\\\'(x₀)=0时
　（1）如果在x₀附近的左侧f\\\\'(x)＞0，右侧f\\\\'(x)＜0，那么f(x₀)是极大值；
　（2）如果在x₀附近的左侧f\\\\'(x)＜0，右侧f\\\\'(x)＞0，那么f(x₀)是极小值．

3．求函数y＝f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
　（1）求函数y＝f(x)在(a,b)内的极值；
　（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)相比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

视频教学：

练习：

1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
	A．(－∞，2)   B．(0，3)
	C．(1，4)   D．(2，＋∞)
	解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
	令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
	2.函数y＝eq (1,2)x2－ln x的单调递减区间为 (　　)
	A．(0，1)   B．(0，1)和(－∞，－1)
	C．(0，1)∪(1，＋∞)   D．(0，＋∞)
	解析：选A.y＝eq (1,2)x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
	由y′＝x－eq (1,x)＝eq (x2－1,x)＜0，∴0＜x＜1.所以选A.
	3.(2012·梁平检测)设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(　　)
	A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
	B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
	C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
	D．f(x)g (x)＞f(a)g(a)
	解析：选C.令F(x)＝eq (f（x）,g（x）)，
	则F′(x)＝eq (f′（x）·g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)＜0.
	∵f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，
	∴F(x)在R上为递减函数，当x∈(a，b)时，eq (f（x）,g（x）)＞eq (f（b）,g（b）).
	∴f(x)g(b)＞f(b)g(x)．
	4.
	已知函数y＝f(x)在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)
	A．[－4/3，1]∪[11/3，6]
	B．[－3，0]∪[7/3，5]
	C．[－4，－4/3]∪[1，7/3]
	D．[－4，－3]∪[0，1]∪[5，6]
	解析：选A.由不等式f′(x)≤0的解集即为原函数f(x)的单调递减区间所对应的x的取值范围，知选A.
	5.设f(x)，g(x)在(a，b)上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时有(　　)
	A．f(x)＞g(x)
	B．f(x)＜g(x)
	C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
	D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
	解析：选C.利用函数的单调性判断．
	令φ(x)＝f(x)－g(x)，则φ′(x)＝f′(x)－g′(x)，
	∵f′(x)＞g′(x)，∴φ′(x)＞0，即函数φ(x)为定义域上的增函数．又a＜x＜b，∴φ(a)＜φ(x)，即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)，从而得f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．

课件：

教案：

【教学目标】：

知识与技能：

          掌握函数极值的定义,了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 

过程与方法：

          结合实例，借助几何直观感知并探索函数的极值与导数的关系。

情感态度与价值观：

           感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质。

【教学过程】：

一、 创设情景：

通过上节课的学习，学生已经知道导数和函数单调性的关系，当时，函数在这个区间上是单调递增；当时，函数在这个区间上是单调递减.

让学生观察课本图3.3-8，引导学生思考最高点处的导数值，以及最高点附近的图像特点，导数的符号有什么变化规律。进而引入本课主题。

通过学生分析、探究发现，在最高点处的导数为0，在最高点的左侧导数，图像单调递增，在最高点右侧导数，图像单调递减。

二、引导探究：

对于这一事例是这样的，对其他的函数是不是也有这种性质呢？进而通过学生分组讨论，找出共同点，不同点，看是否能得到同样的规律。用课本的探究试验来验证规律。

三、归纳应用：

（一）．归纳总结

以图2为例，通过探究，给出定义，函数在点处的函数值比它在点附近的点的函数值都小，而且在点附近的左侧<0，右侧>0。类似地，函数在点处的函数值比它在点附近的点的函数值都大，而且在点附近的左侧>0，右侧<0。

我们把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值。

点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。

学生通过讨论得到结论，填空，完成归纳应用。

（二）．例题精析

例4．求函数的极值

解：1．对函数求导

      2．令导数为零

      令  得 

3．列表

      4．求极值

当时，有极大值，并且极大值为；

当时，有极小值，并且极小值为。

通过本例总结求函数极值的方法和步骤，让学生做题时有步骤可循。

跟踪训练：模仿例题解决求极值问题。

（三）．学后反思：

（1）导数为0的点一定是函数的极值点吗？

导数为0的点不一定是函数的极值点，例如，虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是单调递增的。所以不是函数的极值点，也就是说函数在一点的导数值为0是函数在这点处取极值的必要条件，而非充分条件。

函数在点取极值的充分条件是：

①函数在点处的导数值

②在点附近的左侧，右侧

（2）函数的极大值一定比极小值大吗？

不一定，函数的极值只是函数的局部性质。

（四）．总结解题方法

通过例4强化解题方法，形成解题步骤。总结课堂知识。

求极值的步骤：1．对函数求导，2．令导数为零求得极值点，

3．讨论单调性，4．列表，5．写出极值

四、巩固深化：

课上通过练习1巩固导数的图像从而判断函数的极值点，以及是极大值还是极小值，练习2是一组求极值的题目，目的是强化解题过程，使学生在练的过程中熟练掌握本节知识。

课下完成课本习题

【板书设计】：

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