高中数学《1.2 子集、全集、补集》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 元素与集合的关系

一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a A；如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作aA．

2. 集合中元素的三大特性

2-1 确定性

集合的元素必须是确定的．

比如：如果高考语文要考查优秀的古诗词，光唐诗宋词就有多少首？你们会哭晕吧！最新的高中课程标准规定了高中语文必背篇目，它们就构成一个集合！

2-2  互异性

一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说，集合中的元素没有重复.

例如：方程x²－4x+4=0的解构成的集合是{2}，而不能为{2，2}．

2-3 无序性

集合中的元素可以任意排列，与次序无关.

即集合中的任何两个元素可以交换位置．例如｛1，3，5｝与{1，5，3}是同一个集合．

视频教学：

练习：

一、填空题

　　1．已知三个元素的集合 ， ，如果 ，那么 的值为             ．[来源:学科网]

　　2． 已知 ， ．若 ，则实数 的取值范围是        ．

　　3．设全集为Z， ， ，则 与 的关系是      ．

　　4．若 ， ， ， ，则满足上述条件的集合A为     ．

二、解答题

　　1．已知集合 ， ，其中 ， ，且 ．求 的值．

　　2．设全集 ， ，求由实数 组成的集合．

　　3．已知 ， ， ，试确定A，B，C之间的关系．

【参考答案】[来源:Z_xx_k.Com]

一、填空题

    1．－2．  2． ，或    3． 4． ．

二、解答题[来源:学*科*网Z*X*X*K]

　　1． ．注意 

　　2． 提示：由题设知 ， ，故可求出 ，注意全集与空集互为补集．

　　3． ， ， ．

课件：

教案：

教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系.

教学重点：子集的概念，真子集的概念.

教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.

课    型：新授课

教学手段：讲、议结合法

教学过程：

一、创设情境

在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系

二、活动尝试

1．回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图

2．用列举法表示下列集合：

①                    {-1，1，2}

②数字和为5的两位数}                {14，23，32，41，50}

3．用描述法表示集合： 

4．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”={-1，5}

5．问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）

（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}

（2）A=N，B=R

（3）A={为北京人}，B= {为中国人}

(4)A＝，B＝{0}

（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）

三、师生探究

通过观察上述集合间具有如下特殊性

(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.

(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.

(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.

(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.

由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.

四、数学理论

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.

请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.

2．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A

这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.

注意：子集与真子集符号的方向

3．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.

如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.

4．说明

（1）空集是任何集合的子集ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集ΦA  若A≠Φ，则ΦA

（3）任何一个集合是它本身的子集

（4）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；

集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合

如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}

五、巩固运用

例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示

（2）判断下列写法是否正确

①ΦA  ②ΦA  ③  ④AA

    解（1）：NZQR

      （2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；

思考1：与能否同时成立？

结论：如果AB，同时BA，那么A＝B.

如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等.

问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）

稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.

思考2：若AB，BC，则AC？

真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.

例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.

解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.

变式：写出集合{1，2，3}的所有子集

解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}

猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？()

（2）集合的所有子集的个数是多少？()

注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.

六、回顾反思

1．概念：子集、集合相等、真子集

2．性质：（1）空集是任何集合的子集ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集ΦA  （A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集

（4）含n个元素的集合的子集数为；非空子集数为；真子集数为；非空真子集数为

七、课外练习

1．下列各题中，指出关系式AB、AB、AB、AB、A＝B中哪些成立：

(1)A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.

解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，

故AB及AB成立.

(2)A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.

解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8

那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B.

式子AB、AB、A＝B成立.

2．判断下列式子是否正确，并说明理由.

(1)2{x｜x≤10}

解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.

(2)2∈{x｜x≤10}

解：正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.

(3){2}{x｜x≤10}

解：正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.

(4) ∈{x｜x≤10}

解：不正确.因为是集合，不是集合{x｜x≤10}的元素.

(5) {x｜x≤10}

解：不正确.因为是任何非空集合的真子集.

(6) {x｜x≤10}

解：正确.因为是任何非空集合的真子集.

(7){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}

解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.

(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}

解：正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.

3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系。

4．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当AB时，求实数m的取值范围.

分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.

解：将A及B两集合在数轴上表示出来

要使AB，则B中的元素必须都是A中元素

即B中元素必须都位于阴影部分内

那么由x＜－2或x＞3及x＜－知

－＜－2即m＞8

故实数m取值范围是m＞8

5．满足的集合有多少个?

解析:由可知,集合必为非空集合;

又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。

满足条件的集合有

,共十五个非空子集。

此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。

答案:15

6．已知，若，求。

解析:，即两集合的元素相同，有两种可能：

解得   ；   解得

∴或。

答案: 或。

八、教学后记

本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 

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