高中数学《5.1 函数的概念和图象》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
1．函数与映射的概念
函数 | 映射 | |
两集合A，B | 设A，B是两个非空数集 | 设A，B是两个非空集合 |
对应关系f：A→B | 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应 | 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应 |
名称 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 | 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 |
记法 | y＝f(x)，x∈A | 对应f：A→B是一个映射 |
(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射：
当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数；
(2)映射的两个特征：
第一，在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.
(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．所以判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
根据函数的概念，我们可以得到一个很重要的结论：
与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多只有1个交点．
3．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)．此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与
(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．
分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
1．利用描点法作函数图象的流程
2．平移变换
3．伸宿变换
4．对称变换
5．翻折变换
函数对称的重要结论
(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．
(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线x＝m对称．
(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于
(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于
(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
函数图象的画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．
注：
易错提醒：
(1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
函数图象的识辨可从以下几方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断.
数形结合思想是学习函数的一条主线，有关函数的问题常用函数的图象来研究：
(1)方程的根的个数为相应函数图象与x轴交点的个数，或将方程变形后，转化为两个熟悉的函数的图象交点个数．
(2)已知含参数的方程根的情况，可用数形结合法求参数的范围，一般先把方程变形成一端含参数，再转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题．
(3)有关函数不等式的问题，常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
视频教学：
练习：
1．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
答案 B
解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确．
2．函数
A．[1,2)∪(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足
即x≥1且x≠2.
3．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是()
A．11
B．12
C．13
D．10
答案 C
解析 f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A．y＝x－1和
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
5．集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________．
答案 [－1,0)∪(1,2]
解析 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．
课件：
教案：
学习目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系.
教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法.
教学难点：
函数概念的理解.
教学过程：
一、情境设置
问题一：在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？
（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.
设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
问题二：y＝1（x∈R）是函数吗？
问题三：y＝x与y＝x2x是同一个函数吗？
（学生思考，很难回答）
显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.
二、学生活动
在现实生活中，我们可能遇到下列问题：
⑴估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？
年 份 | 1949 | 1954 | 1959 | 1964 | 1969 | 1974 | 1979 | 1984 | 1989 | 1994 | 1999 |
人口数/百万 | 542 | 603 | 672 | 705 | 807 | 909 | 975 | 1035 | 1107 | 1177 | 1246 |
⑵一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？
①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
②在什么时刻，气温为0℃？
③在什么时刻内，气温在0℃以上？
问题四：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？
三、建构数学
问题五：如何用集合的观点来阐述上面三个例子中的共同特点？
对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.
问题六：如何用集合的观点来理解函数的概念？
结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应.
反思：⑴结论是否正确地概括了例子的共同特征？
⑵比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？
⑶正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数是否也具有上述特征？
问题七：如何用集合的语言来阐述上面三个例子中的共同特点？
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作：f：A→B.
函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为
y＝f(x)，x∈A
其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数的定义域.
强调：
⑴集合A与集合B都是非空数集；
⑵对应法则的方向是从A到B；
⑶强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词.
说明：
⑴“单值对应”是函数对应法则的根本特征；
⑵“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性；
⑶“输入”与“输出”的关系.
学生练习P29习题2.1⑴T10
反思：回答问题二、问题三
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.
y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.
Y＝x与y＝x2x不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y＝x的定义域是R，而y＝x2x的定义域是{x|x≠0}. 所以y＝x与y＝x2x不是同一个函数.
问题九：理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.（定义域→优先，对应法则→核心）
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示.
若A是函数y＝f（x）的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称做函数的值域.
四、数学运用
例1求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝1x－2 (2)f(x)＝3x＋2 (3)f(x)＝x＋1＋12－x
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.
解：(1)x－2≠0，即x≠2时，1x－2有意义
∴这个函数的定义域是{x｜x≠2}
(2)3x＋2≥0，即x≥－23时3x＋2有意义
∴函数y＝3x＋2的定义域是[－23，＋∞）
(3) x＋1≥02－x≠0)
∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例2 试比较下列两个函数的定义域与值域：
⑴f(x)＝(x－1)2＋1,x∈{－1,0,2,3}；
⑵f(x)＝(x－1)2＋1,x∈R.
∵f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
∴这个函数的值域为{1,2,5}.
⑵∵函数的定义域为R，∴(x－1)2＋1≥1，
∴这个函数的值域为{y|y≥1}.
变：f(x)＝(x－1)2＋1, x∈[－1，4]
解：画出f(x)＝(x－1)2＋1, x∈[－1，4]的图象，
如图所示，得y∈[1,10]
问题十：比较两个函数定义域，你对函数有什么新的认识？
学生练习：P28练习T1,2,3
五、回顾反思
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳）
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