高中数学《5.3 函数的单调性》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

单调性定义：

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

视频教学：

练习：

1.(2019海安校级月考)已知函数f(x)=,则函数的值域为(　　)

A.(0,+∞)　　　　B.[0,+∞)

C.(2,+∞)　　　　D.[2,+∞)

2.(多选题)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是          (　　)

A.y=|x|　　　　B.y=x+3

C.y=　　　　  D.y=-x²+4

3.函数f(x)=-x+上的最大值是          (　　)

A.　　　　C.-2　　　　D.2

4.(多选题)(2020山东枣庄模拟)已知函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,则a、b的取值可以是          (　　)

A.a=1,b>　　　　 B.0<< span="">a≤1,b=2

C.a=-1,b=2　　　　D.a=,b=1

5.(2020山东临沂高三月考)已知函数f(x)=.

(1)用定义法证明f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;

(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值.

课件：

教案：

一、教学内容解析

1．教材内容及地位

本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．

它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地．

2．教学重点

函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．

3．教学难点

函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．

二、学生学情分析

1．教学有利因素

学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力．

2．教学不利因素

本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍．

三、课堂教学目标

1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．

2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法．

3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量．

4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力．

四、教学策略分析

在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．

为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：

1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．

2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．

3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．

4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践．

五、教学过程

（一）创设情境，引入课题

实例  科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？

预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问）等．图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质──单调性（板书课题）．

设计说明：从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性．

 函数是描述事物变化规律的数学模型．如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律．在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质．因此，研究函数的变化规律是非常有意义的．

问题1：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？

设计说明：学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”．借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质．

设函数的定义域为，区间．在区间上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即随的增大而增大，则称函数在区间上是递增的，区间称为函数的单调增区间（学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性．）

设计说明：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知．明确相关概念，准确表述单调性．学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的认知冲突做好铺垫．

（二）引导探索，生成概念

问题2：（1）下图是函数的图象（以为例），它在定义域R上是递增的吗？

（2）函数在区间上有何单调性？

预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据．

设计说明：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性．借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性．自然开始探索．

问题3：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“随的增大而增大”？

以二次函数在区间上的单调性为例，用几何画板动画演示“随的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）．

设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“随的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若，则必须有．

（2）已知，若有．能保证函数在区间上递增吗？

拖动“拖动点”改变函数在区间上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增．

（3）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？

拖动“拖动点”，观察函数在区间上的图象变化．

设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成．

（4）已知，若有

，

能保证函数在区间上递增吗？

设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧？”

紧接着师生一起回顾子集的概念（PPT展示教材上子集的定义），再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想．

问题4：如何用数学语言准确刻画函数在区间上递增呢？

预设：请学生自愿尝试概括定义．板书“任意，当时，都有，则称函数在区间上递增”，则突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间上递增吗？”．

问题5：请你试着用数学语言定义函数在区间上是递减的．

预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示．并有意引导使用“任意，当时，都有，则称函数在区间上递减”，以此打破必须“”的思维定式．

（三）学以致用，理解感悟

判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由．（举例或者画图）

（1）设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增；

（2）设函数的定义域为R，若对任意，且，都有，则是递增的；

（3）反比例函数的单调递减区间是．

设计说明：让学生分组讨论，然后进行展示性回答．若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）．通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解．

例题：判断并证明函数的单调性．

设计说明：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式等，并让学生提炼证明的基本步骤．

练习：证明函数的单调性：

（1）在上递减；

（2）在上递增．

设计说明：回答“问题2”悬而未决的问题．先请两位学生板演，然后由其他学生完善步骤．

思考题：物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明．

设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力．

（四）回顾反思，深化认识

课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？

（关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验等．）

设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高．

（五）布置作业

课堂作业：（1）第38页习题2-3 A组：3，5；

（2）判断并证明函数的单调性．

探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜．请你运用所学的数学知识解释这一现象．

设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识．探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性．

（六）板书设计

函数的单调性 递增：（板书定义） 递减：（学生类比）

例题（提炼步骤，明确变形方向） 练习（学生板演）

六、教后反思   

反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况等．

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