高中数学《5.4 函数的奇偶性》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．

2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．

二、函数的奇偶性的几个性质

1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

3、可逆性：是偶函数；奇函数；

4、等价性：；；

5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；

6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。　　

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。    

视频教学：

练习：

1．函数f(x)＝x²(x＜0)的奇偶性为()

A．奇函数  

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  

D．非奇非偶函数

答案　

D

解析　

∵函数f(x)＝x²(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，

∴函数f(x)＝x²(x＜0)为非奇非偶函数．

2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A．y＝x＋1  

B．y＝－x³

D．y＝x|x|

答案　

D

解析　

由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．

3．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为()

A．f(x)＝－x＋1  

B．f(x)＝－x－1

C．f(x)＝x＋1  

D．f(x)＝x－1

答案　

B

解析　

设x＜0，则－x＞0.

∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．

∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，

∴f(x)＝－x－1(x＜0)．

4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()

A．0  

B．1

C．2  

D．4

答案　

A

解析　

由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

答案　

4

解析　

由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x²＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.

课件：

教案：

教学目标：

1、知识与技能目标：理解函数的奇偶性及其几何意义。

2、过程与方法目标：经历从图形直观感知到代数抽象概括，从特殊到一般的概念形成过程，培养学生观察、抽象的能力。

3、情感、态度与价值观目标：通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

教学重点：

理解函数的奇偶性及其几何意义。

教学难点：

判断函数奇偶性的方法。

教学准备：多媒体

教学过程：

一、图片展示，引入新课

多媒体展示喜字、蝴蝶、扑克牌、交通标志四幅图片，请学生观察这些图片具有什么样的共同特征。

通过观察，老师适当引导，学生能够发现前两幅图是轴对称的，后两幅图是中心对称的。

继续追问数学中这样的对称，请学生举例说明。由于前几节课都在学习函数，会有部分学生想到有些函数的图像是对称的。

引入课题：今天我们一起来研究图像具有对称特征的函数的性质——奇偶性

二、合作探索，学习新知

1.观察下列函数的图像：说明图像有什么样的特点。

思考1：这两个函数的图像有何共同特征？

思考2：对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？

一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当自变量x任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。即f(-x)=f(x)

思考3:怎样定义偶函数？

学生先进行独立思考，然后小组讨论形成小组结论，最后展示本组讨论结果。

师生互动将学生得到的定义进行补充完善最终得到精确的偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个数X，都有，且，则这个函数叫做偶函数。

练习：判断下列函数是否为偶函数？（口答）

2.观察下面两个函数的图像，回答以下问题。

问题1：观察图像，从对称的角度思考，它们有什么共同特征？

问题2：分别求当自变量x=±1, ±2时的函数值，从中你能发现什么规律？

问题3：是否对于定义域内所有的x，都有类似的情况？

问题4：类比偶函数的定义给出奇函数的定义。

学生先进行独立思考后，小组内进行交流，形成小组最后结论，最终展示本组成果。

小组代表展示结果后，师生互动得出奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个数X，都有，且，则这个函数叫做偶函数。

练习：判断下列函数是否为偶函数？（口答）

3.强化定义，深化内涵

对奇函数、偶函数定义的说明：

（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x),具有奇偶性。

（2）函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。

（3）若f(x)为奇函数，则f(-x)=－f(x)成立；若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。

三、讲练结合，巩固提升

例1.利用定义判断下列函数的奇偶性

（1）

小结：用定义判断函数奇偶性的步骤: ：

（1）先求定义域，看是否关于原点对称；

（2）再判断f(－x)与f(x)的关系；

（3）若f(-x)=f(x)则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数。

例题2：利用定义判断下列函数的奇偶性

四、总结升华

师生一起回顾函数奇偶性的定义，图像性质，已经如何判断一个函数的奇偶性。

五、布置作业

1.教材42页习题

2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1，求x<0时，f(x)的解析式。

板书设计：

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