高中数学《6.1 幂函数》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

定义：

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

视频教学：

练习：

1．下列函数是幂函数的是(　　)

A．y＝5^x　　　　      B．y＝x⁵

C．y＝5x      D．y＝(x＋1)³

2．已知点as4alco1((
(3)3)，
(3))在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是(　　)

A．奇函数　　　　　      B．偶函数

C．定义域内的减函数      D．定义域内的增函数

3．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　)

A．y＝x13      B．y＝x²

C．y＝x³      D．y＝x^－2

4．如图所示，给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　)

①　　　　　　　　　②

③　　　　　　　　④

A．①y＝x13，②y＝x²，③y＝x12，④y＝x^－1

B．①y＝x³，②y＝x²，③y＝x12，④y＝x^－1

C．①y＝x²，②y＝x³，③y＝x12，④y＝x^－1

D．①y＝x³，②y＝x12，③y＝x²，④y＝x^－1

5．设a＝as4alco1((25))25，b＝as4alco1((25))35，c＝as4alco1((35))25，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c      B．b＜a＜c

C．c＜a＜b      D．b＜c＜a

课件：

教案：

学习目标

1.理解幂函数的概念，会画幂函数的图象;

2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；

3.能应用幂函数性质解决简单问题。

 重点难点

1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；

2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

 知识梳理

一、幂函数的是概念：一般地，函数       叫做幂函数(power function) ，其中    为自变量，  为常数。

二、幂函数的性质

定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点

学习过程

一、探索新知

探究一   幂函数概念

（一）实例观察，引入新课

 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 ，  P是W的函数   （y=x）

(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a²  ， S是a的函数（y=x²）。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a³ ， S是a的函数（y=x³）。

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 。 a是S的函数   。      （y=）

(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t^-1    ，V是t的函数  。    （y=x^-1）

问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?

（二）类比联想，探究新知

1.幂函数的定义：一般地，函数y=x^ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ　为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = x^a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．

【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？

思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？

式子[来源:学科网][来源:学,科,网]	名称[来源:Zxxk.Com]
a	x	y
指数函数：
幂函数：

思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？

看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 。

探究二  幂函数性质

对于幂函数，我们只讨论时的情况，

即：

1.思考：我们应如何研究幂函数呢？

2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数

的图象：

3、性质：

定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点

例1.已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，），求这个函数的解析式。

例2.证明幂函数在[0，+∞)上是增函数

 达标检测

三、达标检测

课堂小结

这节课你的收获是什么？ 

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