高中数学《7.1 角与弧度》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．弧度制

(1)弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

(2)任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．

(3)角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

2．角度制与弧度制的换算

(1)

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

视频教学：

练习：

1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是(   )

A.       B.       C.       D.

2.集合，，则有(   )

A.       B.       C.       D.

3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是(   )

A.       B.       C.       D.

4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为(   )

A.       B.       C.       D.

5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为(   )

A.       B.       C.       D.

课件：

教案：

 教材分析

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.

 教学目标与核心素养

课程目标

1.了解弧度制,明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

 教学重难点

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；

难点：弧度制概念的理解．

  课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、 情景导入

度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 

二、预习课本，引入新课

阅读课本172-174页，思考并完成以下问题

1． 1弧度的含义是？

2．角度值与弧度制如何互化？

3．扇形的弧长公式与面积公式是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．度量角的两种单位制

(1)角度制

①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．

②1度的角：周角的．

(2)弧度制

①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．

2．弧度数的计算

3.角度制与弧度制的转算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

5．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：

(1)弧长公式：l＝      ．

四、典例分析、举一反三

题型一    角度制与弧度制的互化

例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：

解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）

跟踪训练一

1．将下列角度与弧度进行互化．

题型二  用弧度制表示角的集合

例2　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．

解题技巧：(表示角的集合注意事项)

1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．

(1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

(3)用不等式表示区域范围内的角．

提醒：角度制与弧度制不能混用.

跟踪训练二

1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

题型三    扇形的弧长与面积问题

例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 

【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，

依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴

由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，

＝－(r－5)²＋25(0<r<10)．

∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，

故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）

 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：(这里α必须是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．

跟踪训练三

1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为()

【答案】C

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本175页练习及175页习题5.1.

 教学反思

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现. 

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