高中数学《9.3 向量基本定理及坐标表示》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
＝＋ (线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：
＝（＋）或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
则＝+a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理
正弦定理：
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
⑤S△=
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图：
图1 图2
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]
则：①AE==1/2（b+c-a）
②BN==1/2（a+c-b）
③FC==1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.
⑹在△ABC中，有下列等式成立.
证明：因为所以，所以，结论！
⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则.
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①
在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化简
可得，（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线，；
②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；
③若AD是BC上的高，，其中为半周长.
⑻△ABC的判定：
△ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
附：证明：，得在钝角△ABC中，
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
视频教学：
练习：
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2
2．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
3．如图所示，矩形ABCD中，若→＝5e1，→＝3e2，则→等于( )
A．12(5e1＋3e2) B．12(5e1－3e2)
C．12(3e2＋5e1) D．12(5e2－3e1)
4．若D点在△ABC的边BC上，且→＝4→＝r→＋s→，则3r＋s的值为( )
A．165 B．125 C．85 D．45
5．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，→＝a，→＝b，若以a，b为基底，则→＝( )
A．a－12b B．12a－b
C．a＋12b D．12a＋b
课件：
教案：
教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示，模、夹角的坐标表示。
前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。
教学目标与核心素养
课程目标 | 学科素养 |
A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。 B.能用公式求向量的数量积、模、夹角； C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. | 1.数学抽象：用数量积判断两个平面向量的垂直关系; 2.逻辑推理：证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 3.数学运算：利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题； 4.直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。 |
教学重难点
1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式；
2.教学难点：平面向量数量积的应用。
课前准备
多媒体
教学过程
教学过程 | 教学设计意图 核心素养目标 |
一、复习回顾，温故知新 1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 【答案】 2.两个向量的数量积的性质： 【答案】 故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【答案】 例1.已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC的形状，证明你的猜想.
思考4：设是两个非零向量，其夹角为θ，若 |
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过探究，让学生数量积的坐标表示，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，让学生会用坐标表示向量的模、垂直，提高学生分析问题、概括能力。
通过例题练习数量积的坐标表示，提高学生解决问题的能力。
通过思考，推导夹角的坐标表示，提高学生的推理能力。
通过例题进一步熟悉向量的应用，提高学生的观察、概括能力，进一步体会向量的工具性。
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三、达标检测 1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝( ) A．5B．4 C．－2D．－1 【解析】 a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1. 【答案】 D 2．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( ) A．－1B．0 C．1D．2 【解析】 由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A． 【答案】 A A．－4B．－2 C．2D．4 4．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________. 【解析】 因为a＝(3，－4)，所以|a|＝＝5. 【答案】 5 5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)． 【解】 (1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a＋b) 2＝＝42＋(－3)2＝25. (3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)， (a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5. |
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
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四、小结 1. 向量数量积的坐标表示； 2.向量的模的坐标表示，向量垂直的充要条件； 3.向量的夹角公式的坐标表示; 五、作业 习题6.3 10,14题 | 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 |
教学反思
结合本节教材浅显易懂,又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点,兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状,我主要采用“诱思探究教学法”,其核心是“诱导思维,探索研究”,其教学思想是教师为主导,学生为主体,训练为主线的原则,为此,我通过精心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,积极的鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,鼓励学生自主探索,在教师的指导下去探索发现问题,解决问题。在教学中,我适时的对学生学习过程给予评价,适当的评价,可以培养学生的自信心,合作交流的意识,更进一步地激发了学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦。
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