高中数学《11.1 余弦定理》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
视频教学：
练习：
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋2ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60°
C．90° D．135°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝( )
A.14 B.34
C.2)4 D.2)3
3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝( )
A.7)14 B.7)14
C．－7)14 D．－7)14
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.43 B．8－43
C．1 D.23
5．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则→·→的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
6．(易错题)若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝7910，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
课件：
教案：
四、教学过程
教学环节 | 教学过程 | 设计意图 | 计划用时 |
一、引入新课，自主先学； | 1.复习回顾 我们已经学习了正弦定理，请同学们回忆正弦定理的内容，以及在什么情况下用正弦定理解三角形？ 【处理方法：通过提问学生来了解学生掌握情况】 | 通过复习旧知，进一步熟悉正弦定理，也为接下来要学习的余弦定理做好铺垫。 | 2分钟 |
2. 情境引入 有障碍物的两点间距离的测量，通常我们会放在三角形中解决，请同学们试着求出AB间的距离。（PPT上展示三种有障碍物的两点间距离，已知两边及其夹角，夹角分别为直角、锐角、钝角的情况） 【处理方法：教师帮助搭建三角形，学生在想办法求出有障碍物的两点间距离】 | 通过具体案例的分析解决，让学生从特殊中找出解决问题的方法，为接下来一般情况的探究做好铺垫。 | 4分钟 | |
二、互助探究，以行促学； | 1.我们将刚刚大家解决的三个问题放在一起，它们的共同点是什么？我们将特殊的三角形一般化，变成任意三角形ABC，已知两边a,b以及角C，求边c。请同学按照刚刚的研究方法来解决这个问题。 【处理方法：让学生自己归纳出需要解决的问题，然后推导一般情况下的AB 间距离，给定3分钟，学生独立完成后，进行展示。】
2.学生展示教师点评后，让学生一起将推导的结论说出来，此时教师板书推导内容。同时告诉学生这就是我们今天要研究的余弦定理，请同学们观察它的结构特征。 【处理方法：师生共同归纳：描述了三角形中三边和一角的关系，都是二次项，角是右边两边的夹角。】 3. 请同学们快速说出其他两个等式。教师板书。余弦定理最早出现在公元前3世纪欧几里得的《几何文本》中，书中也分夹角为锐角、钝角进行了证明。一直到1593年法国数学家韦达将余弦定理写成了今天大家熟悉的三角形式。 2011年陕西省理科数学高考题的18题是这样的，网传这道题的平均分是2.6分。我们在学习数学的过程中，要重视定义、定理、公式的生成过程，知其然知其所以然，理解其本质。在我们知道余弦定理后，我们来探究一下，看有没有其他的证明方法。 【处理方法：教师讲，学生听】 4. 同学们回忆一下求两点距离或者线段长度还有哪些方法可以用？ 【处理方法：师生共同找到两点间距离公式和向量模长可以解决边长问题。】 5. 两点间距离公式我们需要建立恰当的坐标系，向量求长度需要通过合适的向量运算来解决。这两种方法交给大家来完成。 【处理方法：小组合作探究，将本节课的难点通过生生合作来解决，分组展示交流成果。】 | 先由具体的三角形开始研究，掌握方法后扩展到一般情况，提升学生归纳概括推导的能力。
让学生说出推导的结论，可以熟悉结论，观察结构特征，方便类比说出其他两个表达式。
通过简单数学史的引入，让学生了解这部分知识的历史过程，对今天的学习充满信心。对高考真题的介绍，想让学生重视知识的本身，而不是只重视解题。
为接下来解析法和向量法推导余弦定理做铺垫。
通过小组合作探究，让学生自己找到突破口，更有成就感 | 6分钟
2分钟
3分钟
7分钟 |
三、精讲点拨，讲练结合； | 1.定理剖析 （1）三边一角的关系； （2）可以解什么样的三角形； （3）变形？ （4）变形可以解什么样的三角形； （5）余弦定理和勾股定理的关系。 【处理方法：师生问答交流的方式，教师将知识转化为问题抛给学生，学生在回答问题的过程中进一步理解余弦定理。】
2.应用 【处理方法：两道例题师生共同分析后，教师板书，给学生规范答题的示范。讲过后师生分析解决了什么问题，同时对第一题追加如果求怎么办？第二题追加三角形形状的判断。加深对定理的理解。】
| 余弦定理的内容与应用是本节课的一个学习目标，学生推导余弦定理后，对余弦定理的剖析有利于加深对定理的认识。
通过两道例题，分别从已知两边及其夹角求第三边和已知三边求角两个角度进行应用，让知识学以致用，同时强调格式。 | 3分钟
6分钟 |
四、小结巩固、以学促行；
| 1. 通过表格归纳所有解三角形的情况； 2. 课堂小结 知识、方法、应用三个方面让学生总结。 【处理方法：表格师生共同完成，小结由学生来做，师生补充完整】 | 通过小结，梳理本节的学习内容，对本节的重点知识回顾。 | 2分钟 |
五、适时检测，以行验学。 | 完成反馈练习 【处理方法：学生限时完成，教师了解学生答题情况，及时反馈。】
| 通过反馈练习，检测学生对本节课内容的掌握情况。 | 4分钟
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布置作业。
《余弦定理》说课稿
尊敬的各位考官，大家好，我是今天的 XX 号考生，今天我说课的题目是《余弦定理》。我将从说教材、说学情、说教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材
首先谈谈我对教材的理解，《余弦定理》是苏教版高中数学必修五第一章第二节的内容。本节课主要讲授余弦定理及其证明过程。余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理。它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化。
二、说学情
接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。这一阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强。就学习经验来说，在此之前学生已经学习了正弦定理的推导证明及其应用，掌握了研究斜三角形的一般思路，但是本节课思维量较大，对思维的严谨性和推理能力要求较高，因此教师要提供针对性的研究素材，并作必要的启发和引导。在多种思路证明余弦定理的过程中也会存在困难，教师可以适时的点拨。
三、说教学目标
根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：
（一）知识与技能
掌握余弦定理的两种表示形式，能独立推导出余弦定理，会用余弦定理及其推论解三角形。
（二）过程与方法
在通过观察、比较来推证余弦定理的过程当中，体会从特殊到一般的数学思想，提高逻辑思维能力。
（三）情感、态度与价值观
在自主探究的过程中获得成功的体验，培养良好学习习惯和严谨的思维方式。
四、说教学重难点
我认为一节好的数学课，从教学内容上一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：余弦定理的内容和推证过程。其中向量法证明余弦定理确立为本节课的难点。
五、说教法和学法
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，我将以“提出问题、分析问题、解决问题”来逐层推进课堂，组织学生探究、归纳、推导得出结论。具体采用讲解法、练习法的教法，观察、归纳、概括、探索知识的学法来进行教学。
六、说教学过程
下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。
首先是导入环节，复习回顾正弦定理的内容和能用正弦定理解决哪些类型的问题。
抛出问题：如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角来计算三角形的另一边和另外两个角的问题。
师生先共同考虑：如何计算出三角形第三边的长？学生自主探究发现不能使用正弦定理来求解，从而激发起求知的欲望。
教师引导学生回顾：在DABC 中，当ÐC=90o 时，有 c2 = a2 + b2 ，并抛出问题：若 a, b 的长度大小保持不变，变换ÐC 的大小时， c2 与 a2 + b2 有什么大小关系呢？教师鼓励学生积极思考，大胆发言。学生很容易得出：当ÐC ¹ 90o 时， c2 ¹ a2 + b2 ，那么 c2 与 a2 + b2 究竟有什么大小关系呢？从而引出课题。
（二）新知探索
接下来是教学中最重要的新知探索环节，我主要采用讲解法、练习法的教法，观察、归纳、概括、探索知识的学法来进行教学。
先回忆利用向量法推导出正弦定理的方法，提问：还有其他途径将向量等式 BC = BA+ AC 数量化吗？
接下来，让学生独立思考，自主探索其他的结论。通过探究后可得：
b2 = c2 + a2 - 2ca cos B ， c2 = a2 + b2 - 2ab cos C。
在课堂上着重讲解向量的数量积的推证方法，而解析几何的方法则留作课堂练习。
教学中从学生较容易理解的知识点入手，逐层引导，启发鼓励学生大胆探索，并从不同角度给出证明， 不仅拓宽了学生的视野，也加强了学生对于余弦定理的理解，又能培养学生养成良好的数学思维习惯。
紧接着鼓励学生探究余弦定理在解三角形中的应用，启发学生观察余弦定理的形式，思考：余弦定理能解决解三角形的哪些类型？学生不难发现：①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的问题；②已知三边，求三个角的问题。教师补充：余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式。
（三）课堂练习
接下来是巩固提高环节：完成例 1。
这样的问题的设置，旨在进一步巩固余弦定理，明确余弦定理的适用范围。（四）小结作业
在课程的最后我会提问：今天你学到了什么？ 引导学生回顾：余弦定理及其证明。
七、说板书设计
我的板书设计遵循简洁明了突出重点的原则，便于学生理解，以下是我的板书设计：
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