高中数学《12.1 复数的概念》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

一

基本概念

1.定义：

形如a+bi的数叫做复数(a，b∈R)，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

2.分类：

实数：当b=0时，复数a+bi为实数

虚数：当b≠0时，复数a+bi为虚数

纯虚数：当a=0，b≠0时，复数a+bi为纯虚数

3.两个复数相等的定义：

如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

例如：如果a+bi=c+di，则a=c且b=d，另外当a+bi=0，则a=0且b=0

备注：

两个虚数(b≠0)是不能比较大小的，即使是纯虚数也是不能比较大小的，具体举例如下：

① 3+i与8+2i，虽然后面的虚数的实部跟虚部都是大于前面的虚数，但是仍不能比较大小。

② 2+i与4+2i虽然后面的虚数是前面虚数的2倍，但是不能比较大小

③ 3i跟5i，两个都是纯虚数，但是不能比较大小的

4.共轭复数：

当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

例如：z=a+bi的共轭复数是

二

几何意义

1.复平面定义：

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.几何意义：

复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量,其中a，b∈R，是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)

z=a+bi的模，即

视频教学：

练习：

1.设复数Z满足｜Z-3-4i｜=1，则｜Z｜的最大值是

A.3
B.4
C.5
D.6

2.复数(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)所对应的点在

A.第一象限
B.第二象限
C.y轴正半轴
D.y轴负半轴

3.已知复数Z满足|Z+2|-|Z-2|＝1，则复数Z的对应点在复平面上的集合是

A.线段
B.椭圆
C.双曲线
D.双曲线的一支

4.△ABC的三个顶点对应的复数分别是Z1、Z2、Z3，若复数Z满足|Z-Z1|＝|Z-Z2|＝|Z-Z3|，则Z对应的点应为△ABC的

A.内心
B.垂心
C.重心
D.外心

课件：

教案：

 教材分析

本节作为复数一章的开篇，主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数的相关概念、分类、相等条件，代数表示和几何意义.

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

 教学目标与核心素养

课程目标

1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．

2.理解复数的概念、表示法及相关概念．

3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．

数学学科素养

1.数学抽象：复数及相关概念；

2.逻辑推理：复数的分类；

3.数学运算：复数相等求参.

教学重难点 

重点：复数的分类及复数相等的充要条件． 

难点：复数的概念.

 课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

 教学过程

一、 情景导入

提问：1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

2．若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本68-69页，思考并完成以下问题

1、实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

2、复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．

2．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.

3．复数的分类

思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？

[提示]

四、典例分析、举一反三

题型一  复数的概念

例1下列命题中，正确命题的个数是                 ()

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x²＋y²＝0，则x＝y＝0；

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

⑤－1没有平方根；

⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．

A．0           B．1           C．2           D．3

【答案】A

【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．

②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．

③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．

④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．

⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．

⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.

解题技巧（复数概念的理解）

(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．

(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．

(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．

跟踪训练一

1．下列命题正确的是________．

①复数－i＋1的虚部为－1.

②若z₁，z₂∈C且z₁－z₂>0，则z₁>z₂.

③任意两个复数都不能比较大小．

【答案】①．

【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z₁，z₂不全为实数，则z₁，z₂不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．

题型二  复数的分类

例2实数x分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

【答案】(1) x＝5时，z是实数．(2) x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

解题技巧： (复数分类的注意事项)

判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．

跟踪训练二

1．实数m为何值时，z＝lg(m²＋2m＋1)＋(m²＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

题型三  复数相等的充要条件

例3 根据下列条件，分别求实数x，y的值．

(1)x²－y²＋2xyi＝2i；

(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.

，

解题技巧（复数相等问题的解题步骤）

复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．

跟踪训练三

1．已知M＝{2，m²－2m＋(m²＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．

【答案】1或2.

【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本70页练习，73页习题7.1的1-3题.

教学反思 

本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.通过使学生体会数系的扩充是生产实践的需要，是数学学科自身发展的需要，从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类等.进而对本节课的知识掌握的更加牢固. 

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