高中数学《15.3 互斥事件和独立事件》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
1,互斥事件，顾名思义，即不可能同时发生的事件。例如事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其概率论中的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。
若事件A,B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)，P(A)+P(B)不一定等于1
2, 对立事件亦指不可能同时发生。若M交N为不可能事件，M并N为必然事件，那么称M事件与事件N互为对立事件，其含义是：事件M与事件N在任何一次试验中有且必有一个发生。
若事件M是N的对立事件，则P（N）=1-P（M）
对立事件是互斥事件的特殊情况，对立一定互斥，互斥不一定对立。
3,相互独立是指事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率P(A*B) =P(A) *P(B)
对立事件是互斥事件的特殊情况，对立一定互斥，互斥不一定对立。
独立与互斥没有关系，因为独立事件可以同时发生但是不相互影响。若两事件互斥，则两者不能同时发生，两者肯定有关系，故两者定不独立。
视频教学：
练习：
1.将3颗骰子各掷一次，记事件A表示为“三个点数都不同”，事件B表示为“至少出现一个1点”，则条件概率
2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为( )
3.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
5.某学校甲、乙等10位同学组成的志愿者服务队由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该服务队中的4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )
6.高一新生健康检查的统计结果:体重超重者占40％，血压异常者占15％，两者都有的占8％今任选一人进行健康检查，已知此人体重超重，他血压异常的概率为( )
课件：
教案：
【学习目标】
1．理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据它们的定义来辨别一些事件是否互斥，是否对立．
2．会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．
3．会用对立事件概率公式计算对立事件的概率．
4．从中受到辩证唯物主义的教育．
【基础知识精讲】
课文全解
本节内容主要有两部分：一是互斥事件、对立事件的基本概念，二是互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式及其运用．
1．互斥事件
如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥（互不相容）．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，则A∩B＝
再如，掷一个六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体玩具。事件A：向上的数字大于4；事件B：向上的数字小于3；两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件．若事件A向上的数字大于4，事件B向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的．因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B发生．
2．对立事件
如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立（互逆）事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．也即满足条件：A∩B＝
3．互斥事件A与B的和
由于集合是可以运算的，可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么“在同一试验中，A或B至少有一个发生”这一事件，则称为A与B的和，记作A＋B（或A∪B）．教材仅限于两互斥事件的和事件．推而广之，“A1＋A2＋…＋An”表示这样一个事件：在同一试验中，A1，A2，…，An中至少有一个发生即表示它发生．
4．概率加法公式
两互斥事件的和的概率，等于这两事件的概率的和．即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．更一般地，有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和．即
利用这一定理来求概率的步骤是：（1）要确定这诸事件彼此互斥；（2）这诸事件中有一发生；（3）先求出这诸事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：（1）（2）两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．
5．对立事件概率公式
对立事件的概率和等于1，即P（A）＋P（
6．求复杂概率事件的方法
在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，利用概率的可加性及对立事件概率之间的关系，可以大大地简化某些事件概率的计算．
问题全解
1．怎样判断事件是互斥事件、对立事件？
互斥事件是不可能同时发生的事件，它可以是两个事件之间，也可以是多个事件之间；对立事件首先应是互斥事件，且两者中必有一个发生，它仅适用于两个事件之间．
［例1］某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E．
策略：利用互斥事件、对立事件的定义．
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
评注：搞清两个事件是否互斥，是否对立，是运用公式计算的前提．
2．如何利用集合思想判断事件的类型？
从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．而在对立事件中，由事件
［例2］如果事件A、B互斥，那么（ ）
A．A＋B是必然事件
策略：利用集合思想或结合文氏图判断．
解：对于选项A：事件A＋B相当于集合A∪B，显然它不一定为全集，故不一定为必然事件，不能选A．
对于选项B：事件
对于选项C、D，根据文氏图知，它们都有可能成立，有可能不成立，故不能选．
评注：利用集合思想可以帮助我们理解基本概念，也可以帮助我们判断一些命题的真假，其关键在于事件A、B所对应的集合与全集U以及与其他集合的关系应搞明白、搞确切．
3．如何应用概率加法公式？
先看下面的例子：
［例3］向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
策略：首先判断事件间的关系，后套用概率公式．
解：设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P（A）＝0.025，P（B）＝P（C）＝0.1．
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库．
∴P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225
评注：对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和，关键要确定事件是否互斥、是否完备．
值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用概率加法公式．例如把抛掷一个正方体玩具（各面分别标有数1～6）作为一次试验，事件A表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B表示向上的数不超过3，那么A与B就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A与B同时发生了．现在再看A＋B这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5，所以
P（A＋B）＝
4．如何应用对立事件概率公式
所谓对立事件就是某事件的反面，用集合观点看就是某集合的补集，当某个事件包含的情况（即基本事件）太多时，或者含有“至多”“至少”这样的字眼时，可考虑对立事件．
［例4］一批产品共100件，其中5件是废品,任抽10件进行检查，求下列事件的概率．
（1）10件产品中至多有一件废品；
（2）10件产品中至少有一件废品．
策略：10件产品中恰有0、1、2、3、4、5件废品是互斥事件，可用概率加法公式．
解：设Ai为事件“10件产品中恰有i件废品”，其中i＝0、1、2、3、4、5，易知Ai（i＝0，1，…，5）为彼此互斥事件．
（1）设A为事件“10件产品中至多有1件废品”，则有A＝A0＋A1，又由于A0与A1互斥，所以
P（A）＝P（A0＋A1）＝P（A0）＋P（A1）＝
（2）（法一）设B为事件“10件产品中至少有1件废品”，则有B＝A1＋A2＋A3＋A4＋A5，而且A1，A2，…，A5彼此互斥，所以
P（B）＝P（A1＋A2＋A3＋A4＋A5）
＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＋P（A5）
（法二）由于B的对立事件为“10件产品中无废品”，即B＝A0．
∴P（B）＝1－P（
评注：抽查产品问题与摸球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握．（1）“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品”，即m≤1（又m∈N，∴m＝0，1），其反面是“有2件以上废品”，即m≥2（故m＝2，3，4，5）．“至少有一件废品”的意义是“可以有一件废品，可以有两件废品，…，可以有五件废品”即m≥1，（故m＝1，2，3，4，5），其反面是“没有废品”，即m≤0（故m＝0）．要正确理解“至多”“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反面去解简单．（2）注意求概率的直接法和间接法两种思路．
5．等可能事件、互斥事件、对立事件之间有何关系？
互斥事件与对立事件的关系前面早有叙述，不再重复．等可能事件与互斥事件、对立事件不属于同一概念范畴，它们只是从不同的角度去研究问题，且等可能事件是计算互斥事件中某个事件概率的工具．
［例5］一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球得到的是（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率．
策略：利用等可能事件求概率．
解：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取一球有12种取法，
（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P2＝
【学习方法指导】
直接法
根据事件的性质，把比较复杂的事件分解为几个简单的互斥事件，从而直接套用概率求和公式求出概率．
［例1］某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．
策略：射手射中9环、8环、不够8环彼此是互斥的，因此可用概率加法公式求解．
解：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别记为A1、A2、A3、A4．
∵A2、A3、A4彼此互斥，
∴P（A2＋A3＋A4）＝P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76
∴P（A1）＝1－P（A2＋A3＋A4）＝1－0.76＝0.24
A1与A2互斥，且A＝A1＋A2
∴P（A）＝P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝0.24＋0.28＝0.52
即这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率是0.52．
评注：要注意理清各个事件之间的关系，分清哪些事件是互斥的，哪些不互斥，在将一个事件拆分为几个互斥事件时，要做到不重不漏．
间接法
当一个事件从正面考虑比较困难，比较繁杂时，它的反面肯定比较简单，这时我们可以先考虑反面，即先求其对立事件的概率，从而求出原事件的概率，这也是“正难则反”思想的灵活运用．
［例2］学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是
策略：可先设既会唱歌又会跳舞的人数为x，则该队的队员人数为（5＋7－x）人．如图10－6－1所示．
10－6－1
解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x名，则该队中只会唱歌和只会跳舞的队员的人数为（12－2x）名，只会唱歌的人有5－x人，只会跳舞的人有7－x人，从中选出3人，记A为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”，则A的对立事件
解得x＝3．∴12－x＝9．∴该文娱队共有9人．
评注：（1）注意集合元素个数的计算方法：card（A∪B）＝cardA＋cardB－card（A∩B）．（2）本题中出现了“至少”一词，可考虑从反面做，因为人数不知，所以从正面做较繁．
［例3］从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球，都是白球
B．至少有一个白球，至少有一个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有一个白球，都是红球
策略：把每个事件表示为集合后，根据互斥事件、对立事件的定义进行判定．
解：至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}（注：（白，红）表示一白一红两个球），都是白球＝{（白，白）}两集合的交集非空，故不能选A．
至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}，至少有一个红球＝{（白，红）、（红，红）}，其交集也非空，不为互斥事件，不能选B．
恰有1个白球＝{（白，红）}，恰有2个白球＝{（白，白）}，交集为空集，两事件是互斥事件，又两集合的并集＝{（白，红）、（白，白）}≠{（白，白）、（白，红）、（红，红）}（此为全集），故两事件不对立．所以选C．
对于选项D，也可以同法判定两事件对立，不选D．
评注：两事件互斥，必有A∩B＝
【知识拓展】
迁移
［例1］证明：若事件A、B互斥，那么事件A＋B发生（即A、B中有一个发生）的概率等于事件A、B分别发生的概率的和．
分析：此结论课本上是用一个等可能事件的例子加以说明的．这个说明实质上已经给出了就等可能性事件的情形来一般地证明此结论的方法．
证明：设在某一随机试验之下，共有N种等可能出现的结果，其中有m1个结果属于事件A（也就是这m1个结果中任何一个发生都表示A发生），有m2个结果属于事件B．这里，因A与B是互斥的，所以属于事件A的m1个结果与属于事件B的m2个结果中不存在相同的结果．事件A＋B的发生表示A与B中有一个发生，就是说，在上述属于A的m1个结果连同属于B的m2个结果中，有任何一个结果发生都表示A＋B发生．因此，P（A＋B）＝
说明：上述证明虽然是就等可能性事件证明的，但此公式对非等可能性的互斥事件仍然是成立的．
发散
［例2］两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时可以离去，试求这两人能会面的概率．
图10－6－2
解：以x、y分别表示二人到达时刻（精确到分），0≤x≤60，0≤y≤60．
二人会面的充要条件为|x－y|≤20．这是一个几何概率问题．可能结果的全体为边长为60分的正方形，可能会面的点的区域为图10－6－2中阴影部分．
【同步达纲训练】
一、选择题
1．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
2．袋中5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）
3．从4个男生、3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的概率是（ ）
4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（ ）
二、填空题
5．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是80%，两人下成和棋的概率为50%，则甲获胜的概率为_______．
6．一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，3…，9．从中任取两张，其号数至少有一个为奇数的概率为_______．
7．一个口袋内装有3个红球和n个绿球，从中任取3个，若取出的3个球中至少有一个是绿球的概率是
三、解答题
8．口袋里放了12个大小完全一样的球，其中3个是红色的，4个是白色的，5个是蓝色的，从袋里取出4个球时，求：
（1）取出的球的颜色至少是两种的概率；
（2）取出的球的颜色是三种的概率．
参考答案
一、1．解析：“至少有一次中靶”包括一次中靶、两次中靶两种情况．A：至多有一次中靶也包括有一次中靶的情况，故不能选．同理B不能选，“两次都不中靶”显然与“至少有一次中靶”不能同时发生，故选C．
答案：C
2．解析：摸出的4个球全为白色的概率
答案：B
答案：B
答案：D
二、5．解析：因为甲不输包括甲胜与战和两种情况，故甲获胜的概率应为80%－50%＝30%．
答案：30%
6．解法一：一奇一偶的概率P1＝
答案：4
三、8．解：（1）设从12个球中取出4个球至少是两种颜色的事件为A，A的对立事件为
（2）设取出4球中，1个红色、1个白色、2个蓝色的事件为A1；1个红色、2个白色、1个蓝色的事件为A2；2个红色、1个白色、1个蓝色的事件为A3，且事件A1、A2、A3彼此互斥，所以所求的概率为
P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
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