高中数学《3.2 双曲线》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-13

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知识点：

一、直接法

直接法就是不设出双曲线的标准方程，而是根据双曲线及相关圆锥曲线的几何性质等建立方程（组）直接求出a与b的值。但是求解时，必须首先明确焦点在哪条坐标轴上。

二、定义法

此方法主要适用于求动点的轨迹方程，解答时必须首先根据题设条件判定所求点的轨迹为双曲线，然后根据条件中的其他条件确定a、b的值，进而得到双曲线的标准方程，即为所求点的轨迹。

三、待定系数法

利用待定系数法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得参数。但在求解过程中，若能将条件与双曲线标准方程特征联系起来，巧妙设出相应的双曲线标准方程或变式方程，则可达到避繁就简的目的。

视频教学：

练习：

1.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则a的值为 (　　)

A.9 B.6 C.5 D.3

2.若k∈R,则“k>5”是“方程-=1表示双曲线”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F₁(-,0),点P在双曲线上,且线段PF₁的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 (　　)

A.-y²=1 B.x²-=1

C.-=1 D.-=1

4.已知F₁,F₂为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF₁|=2|PF₂|,则

cos∠F₁PF₂等于 (　　)

A. B. C. D.

课件：

教案：

课题名称	双曲线及其标准方程
概述
教学对象分析：学生是在学习完了椭圆的标准方程和性质之后来学习双曲线及其标准方程，对圆锥曲线的学习有一定的基础。在基本知识点，数学方法和思想，数学能力等方面应用类比椭圆相关知识的方法来进行学习。
教学任务分析：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。在引导学生进行基础知识的探索教学过程中，加强对学生思维能力的培养；利用现代化教学，在课堂教学中达到提高学生能力和培养学生创新意识。在整个教学过程中让学生注意观察、比较、分析、抽象、概括，使学生在模拟演练中，体会到数学中蕴含的一些重要的思想方法，力求使学生在教师的引导下，通过类比“椭圆及其标准方程”，加深对知识的理解，较好的掌握双曲线的定义及其标准方程，即本节课所讲的任务。
教学流程图（见下面附录）
三维学习目标
知识与技能	掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，能初步应用
过程与方法	通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程。
情感态度价值观	理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；培养学生发散思维的能力。
教学重难点
重点	双曲线方程的形式
难点	双曲线方程的推导过程
教学环境资源
实验
其他资源
教学过程	设计思想
一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）。两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）。椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。 2.椭圆标准方程：（1）（2）其中二、讲解新课： 1．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 。 2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程。过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设P（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2（）。则，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），。化简，得：由定义令代入，得：两边同除得：，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，其中若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在轴上，则焦点是，将互换，得到，此也是双曲线的标准方程。三、讲解范例：例1 ⑴ 已知点到点的距离减去它到点的距离之差是4，求点的轨迹方程。 ⑵ 已知点到点的距离与它到点的距离之差的绝对值等于6，求点的轨迹方程。解：⑴ 依题意，，所以点M的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且c=3，2a=4. 因为，所以点M的轨迹方程为. ⑵ 因为，而，所以当时，点M的轨迹是以为端点在轴上的向右的一条射线当时，点M的轨迹是以为端点在上的向左的一条射线. 例2　在相距2000米的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到爆炸声的时间比在B站早4秒，声速为340 米／秒，判断爆炸点可能分布在什么样的曲线上？并求出该曲线的方程．解：(1)由声速及A、B两站听到爆炸声的时间差，可知A、B两站与爆炸点的距离的差小于A、B两站之间的距离，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上因为爆炸点离B处比离A处更远，所以爆炸点应在靠近A处的一支上． (2)如图建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合设爆炸点P的坐标为，则 ∵\|PB\|－\|PA\|=340×4=1360，又\|AB\|=2000>1360 即 2＝1368，＝680,=462400．　 2c=2000，c=1000，＝537600 所求双曲线的方程为（<-68< span="">0）例3双曲线的两个焦点为、，点P在双曲线上，若，求点P到轴的距离. 解：设点P的坐标为，则有，即. 由焦点坐标为、得，. 由，得，即，化简得 . ② 由①②可得，所以 . 因此，点P到轴的距离为. 四、课堂练习：教材第57页练习12.5 五、回家作业《练习部分》	从椭圆定义类比出双曲线定义，强调类比思想。点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到A站听到爆炸声的时间比在B站早4秒,这里声速取同一个值本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力
教学媒体的运用	几何画板对双曲线形成的演示
教学设计的形成性评价