高中数学《3.3 抛物线》微课精讲+知识点+教案课件+习题
| 科学 | 全部课程 ↓ |
知识点：
要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点
要点诠释:
(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，
(2) 定义中的隐含
(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物
要点二、抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为
将上式两边平方并化简，得
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式[来源:Zxxk.Com]
要点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线
一般情况归纳：
方程[来源:Z,xx,k.Com][来源:学_科_网] | 图象的开口方向 | 焦点 | 准线 |
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求
要点三、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程
范围：
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为
抛物线标准方程几何性质的对比
图形 | ||||
标准方程 | y2=2px（p＞0） | y2=－2px（p＞0） | x2=2py（p＞0） | x2=－2py（p＞0） |
顶点 | O（0，0） | |||
范围 | x≥0， | x≤0， | y≥0， | y≤0， |
对称轴 | x轴 | y轴 | ||
焦点 | ||||
离心率 | e=1 | |||
准线方程 | ||||
焦半径 | ||||
要点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线
视频教学：
练习：
1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 ( )
A.
C.
2.抛物线y=
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
3.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是 ( )
A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2 D.y=
4.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为 ( )
A.
课件：
教案：
一、背景分析
1、课标要求
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
（2）经历从具体情境中抽象出抛物线模式的过程，掌握抛物线的定义、标准方程及简单性质；
（3）了解圆锥曲线的简单应用。
2、本节课在圆锥曲线中的地位：
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。而抛物线在圆锥曲线中的地位仅次于椭圆而高于双曲线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够重视。
3、学情分析
这是一个高二文科班，数学基础较好，逻辑推理能力和数学计算能力一般。在学生已经掌握了椭圆和双曲线的定义、标准方程、几何性质的基础上及初中二次函数的初步认识的基础上学习本节课。
4、学习任务分析
（1）通过现实生活中的例子与几何画板的动画课件，让学生观察、发现、认识抛物线；
（2）直接法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点；
（3）由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程，反之依然。
（4）放手让学生类似推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同；
二、教学目标设计
根据课程标准的要求、教材的具体内容和学生认知心理，我确定本堂课的教学目标如下：
1、知识与能力
（1）让学生理解抛物线的概念
（2）让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。
2、技能与方法
（1）培养建立适当坐标系的能力；
（2）培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。
3、情感态度与价值观
（1）培养学生的探索精神；
（2）渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
4、教学重点和难点：
根据上述教材的地位、作用、内容与学生情况，我确定教材重点、难点如下：
（1）教学重点：
a 选择适当坐标系探求抛物线的标准方程；
b 标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系；
（2）教学难点：
a 应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题；
b 选择适当坐标系求抛物线的标准方程；
c 争取进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化。
三、教学媒体设计
以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重点。教学中采用实验探究、类比法、图表法。
实验探究：通过几何画板演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线。类比法：由椭圆和双曲线的定义、标准方程的求法，类比得出抛物线的标准方程。类比法使得学生对于教材容易接受，可减轻学生负担。图表法：将抛物线定义、图象、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。
四、教学过程
教师活动 | 学生活动 | 设计意图 |
展示图片 | 学生欣赏图片中的美 | 欣赏自然界与人工抛物线建筑的美，渗透美育教育 |
展示本节课重点 | 明确本节课的知识重点 | 让学生明确本节课重点，做到有的放矢 |
课前回顾：回忆两点距离公式，点到直线的距离公式，椭圆、双曲线的定义及标准方程 | 课前填写，上课时回答，如果有同学打错，别的同学马上纠正继续回答 | 回忆本节课需要用到的知识点，让学生回答问题的时候注意准确性和严谨性。 |
新课引入，回忆初中学过的二次函数 | 回答两个问题：对抛物线已有哪些认识？二次函数的图象都是抛物线，它们的开口都是什么样的？ | 结合初中知识，让学生对抛物线有新的认识，寻求抛物线的定义。 |
初中老师讲的二次函数的图象是抛物线，那么这个是真的吗？抛物线既然是圆锥曲线的一员，它是否也有和椭圆和双曲线一样严格的定义呢？请同学们在课本上找到抛物线的定义并且找到相关的关键词。 | 学生思考，在课本上寻找抛物线的定义，并且由几个同学完善抛物线的定义中的关键词。 | 培养学生的质疑能力和探究能力。带着问题寻求答案，同学合作，寻求最佳答案。 |
揭示抛物线的定义，及定义中的关键词，通过几何画板为学生展示抛物线的图象 | 观察抛物线图象性质 | 体会抛物线图象的形状，渗透美育教育并体现数学的严谨性。 |
追问：如果定点F在定直线l上时，将会是什么曲线 | 学生思考并回答问题 | 体现数学的严谨性 |
如何探究完成抛物线的标准方程？ | 学生回忆：直接法求曲线方程的步骤，选取适当的坐标系，说明理由 | 结合以前学生的二次函数的知识，告诫学生数学追求的是“简洁” |
教师以开口向右的抛物线为例，展示抛物线的标准方程的推导过程。 | 学生参与到分析和化简方程的过程中来 | 告诫学生科学的严谨性，并且在探究科学的道路上，不能有任何的差错。 |
坐标系的建立是人为行为，如何开口向左，向上，向下，那么抛物线的方程会是怎样？ | 学生分小组合作，在每组中找出学生完成表格中的内容 | 学生合作，模仿，探究。 |
对比抛物线四个标准方程总结它们的特点及标准方程和焦点坐标、准线方程的关系 | 多名学生总结，汇总大家的结果，使所有学生达成共识。 | 集体探究，汇集集体的智慧。 |
例题讲解：例1已知抛物线的方程为y²=6x，及y=4x²，求它的焦点坐标及准线方程。 | 个别学生作答，尤其是第二个方程y=4x²学生发生分歧 | 让学生再一次明确抛物线的标准方程什么样子，它和它的焦点坐标及准线方程的关系 |
小结解题规律，做课本P67练习2 | 学生独立完成课后习题，教师读学生的解题结果 | 学以致用，强化认知。 |
展示例2：已知抛物线的焦点是（0，-2），求它的标准方程。 | 学生尝试解题，发现规律 | 强化标准方程与焦点坐标及准线方程之间的关系 |
变式：已知抛物线的焦点是直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程。 | 先求焦点坐标，再求抛物线标准方程。 | 逐步递进，增加难度。 |
小结解题规律，做课本P67练习1 | 学生独立完成课后习题，教师读学生的解题结果，有错误出现学生起立订正答案。 | 学以致用，强化认知。 |
学生小组讨论，探究方程表示的是什么？为什么？ | 深入理解抛物线的定义，而不局限于标准方程 | |
学生思考，小组讨论，探究定义的真正含义 | 增加难度，需要学生适当变形，需要学生思考问题更加全面。 | |
堂课总结 | 学生总结本节课的收获。 | 让学生说出本节课收获和体验，教师最后总结 |
课后作业 | 学生课下完成 | 本节课内容验收 |
五、教学反思
本节课的通过现实生活中学生看得见，摸得着的抛物线的实例引入，结合学生已经学过的椭圆与双曲线的研究过程，引领学生一起研究抛物线及其标准方程。而对于抛物线而言它的开口有四个方向，标准方程有四个，其中p为焦点到准线的距离（定点不在定直线上），所以p是有几何意义的，不能为负数。这四个方程从形式上又比较接近，所以在已知抛物线方程的情况下，写出焦点坐标及准线方程对于初学者还是有一些困难的。虽然和学生一起总结了解题方法，但是学生还是比较容易出错，尤其是抛物线方程没有以标准方程呈现的时候。
再有就是在推导其他三个标准方程的时候给学生的时间不够多。有部分学生完成了，就直接让学生将结果呈现在黑板上，没有照顾到全体学生。
在教学过程中，有一位学生在解题过程中，出现了错误，之后马上有学生更正，作为老师没有就出现错误的地方进行深层次的挖掘，没有借着这个机会，找出学生错误的原因，究竟这个错误是学生计算失误，还是具有普遍性，没有好好分析。
在这次课后，我认真反思，真正感受到了中国教育的改革势在必行，作为新课程改革的践行者，我必须从现在开始做好一起准备，首先转变观念，之后从本质上理解新课改的精神，并在自己的日常教学中积极研究探索，希望在我们不懈努力之下，新课改能日期达到预期目标。
图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删