高中数学《4.4 数学归纳法》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-13

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知识点：

一、数学归纳法定义及证明步骤

（一）定义

（二）数学归纳法证明命题的步骤

二、数学归纳法的原理

（2）用数学归纳法证明等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律∶等式的两边各有多少项，由n=k到n=本+1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项，难点在于寻求n=k 时和 n=h+1 时的等式的联系.

视频教学：

练习：

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<< span="">n(n∈N^*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)

A．1＋12<2　　　　　 B．1＋12＋13<2< span="">

C．1＋12＋13<3 D．1＋12＋13＋14<3< span="">

2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A．12k＋2 B．－12k＋2

C．12k＋1－12k＋2 D．12k＋1＋12k＋2

3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)

A．该命题对于n>2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

4．利用数学归纳法证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1<< span="">n(n≥2，n∈N^*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)

A．1项　 B．k项　　　C．2^k^－1项　　　D．2^k项

5．对于不等式n2＋n<< span="">n＋1(n∈N^*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1< span="">，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N^*)时，不等式k2＋k<< span="">k＋1成立，当n＝k＋1时，k＋1²＋k＋1)＝

k2＋3k＋2<< span="">k²＋3k＋2＋k＋2)＝k＋2²)＝(k＋1)＋1

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

6．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N^*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　)

A．当n＝6时，该命题不成立

B．当n＝6时，该命题成立

C．当n＝4时，该命题不成立

D．当n＝4时，该命题成立

课件：

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教案：

教学要求：

1、了解数学推理中的常用方法——数学归纳法；

2、理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与自然数有关命题的步骤；

3、掌握数学归纳法的一些应用。

教学建议：

数学归纳法是证明某些与自然数有关且具有递推性的数学命题，通过“有限”来解决“无限”问题的一种严谨又十分重要的，在历年高考题常常出现的数学证明方法。教学中许多学生没有理解数学归纳法的实质，只知其然，不知其所以然，证题停留在机械模仿，盲目套用数学归纳法的证题格式，造成不必要的失误。为了学生能正确掌握并灵活运用数学归纳法，本文从以下几个方面作上些探讨，供同行参考。

一、新课巧导入，欲趣盎然来

数学归纳法是高中数学的教学难点和教研重点，原因是这部分知识学生的知识准备不足。正因为如此，从日常生活经验中体验数学归纳法，为突破难点提供感性材料，新课的引入更显得重要。

数学归纳法的引入，教师播放事先准备好1999年12月31日中日学生联合举办的《多米诺骨牌倒在世纪边上》活动的录像带片断，以及电视剧《再见艳阳天》中贺生迎亲放鞭炮的片断。看过之后教师提问学生多米诺骨牌游戏操作的方法？骨牌倒下用不用一块一块人工推倒？鞭炮用不用一个一个点着？为什么？（学生争先回答），教师引导学生总结出两个条件：第一，必须推倒第一块，第二个条件是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。若上述两个条件都满足，我们可以断定什么结论？学生回答：全部的骨牌都倒下。用相似的思路让另一名学生回答一串鞭炮点火后能全部放响应满足什么条件？通过上述的两个学生的回答，使学生对数学归纳法获得感性认识，学习的兴趣和求知欲大大提高，为理解数学归纳法的实质奠定基础。

二、证明三步骤，加强规范化

数学归纳法证题格式应分三步，要使学生在理解的基础上记忆。

第一步是正确性的基础，验证P（1）真；

第二步是传递性的依据，核心和关键，证明从前一号命题P（K）到后一号命题P（n+1）有传递性；

第三步是一个递推的过程与结论。即根据第一第二步可得P（n）对一切自然数n都成立。

第三步不是对数学归纳法的证明，但直接地说明了数学归纳法的递推过程，当中传递过程的具体化：

P(1)真第二步 P(2)真第二步 P(3)真第二步 ……

上式能使我们清楚地看到第一步与第二步在功能上有不同的分工，但又缺一不可，服务于同一目的。上述证明三步骤中关键是第二步，学生理解上的障碍主要集中在对第二步的理解上，学生常常会问，第二步中P（k）真是假设的条件，假设一旦不真，其推出来的结论P（k+1)岂不是毫无依据。所以，教学中应想方设法从各个方法突破这个教学难点，真正使学生感觉到“假设不假”这一道理，达到认识上的飞跃。

三、“假设”作条件，关键要把握

正确使用数学归纳法去论证，关键之一是掌握好第二个步骤，只有运用了“假设”作为条件去推证，才能保证命题的正确性能无限地传递下去。否则，即使证明正确，其证明方法也不是数学归纳法。

四、题型巧分类，要点要记清

利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的数学命题，核心问题是用n=k时命题成立这个假设条件来证明n=k+1时命题成立。用数学归纳法证题题型主要有五类，笔者通过摸索与学习，在教学过程中对这五种类型证法加以小结，收到较好效果，这五类题型证题的关键步骤列表如下：

题型	证题要点
恒等式类命题	“一凑一变”，突出“变”
不等式类命题	“一凑一证”，常用放缩法，比较法完成证明
数列类命题	先用递推式，后利用归纳假设
几何类命题	从p(k+1)命题成立的结论中，分解出p(k)命题成立的部分，然后去证余下的部分
整除类命题	提出因子，凑成假设，数字不符，多退少补

“凑”指的是凑成假设，“变”指的是为了变型推理运算得到p(k+1)的结论，是凑成假设的目的。

五、找出差别，才能实现n=k到n=k+1的过渡

数字归纳法证题由第二步的重要性使我们意识到对P(k)和P(k+1)认识清楚的必要。

六、抓住时机，培养能力；大胆猜想，严密论证。

人类的进步是依靠人们不断发现真理实现的。学习数学归纳法，不能停留在书本给出现成结论上。“观察—分析—归纳—猜想—证明”才是人类从发现问题达到解决问题完整的思维过程，也就是从特殊到一般的思维过程。因此，我们要学会具体的，有限的事物出发，通过观察，分析和对比，归纳直至猜想它们可能存在的规律，得到一般性的结论。如果这些问题与自然数有关，进而可运用数学归纳法去证明（或否定）你的发现，这是培养创造性思维的有效途径。

知识提炼：

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n₀)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n₀)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n₀的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

课后作业：

1.用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为( )

A. 1 B. 1+ C. D.

2. 用数学归纳法证明

,则从k到k+1时,左边所要添加的项是( )

A. B. C. D.

3. 用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被整除”第二步的归纳假设应写成( )

A.假设正确,再推正确;

B.假设正确,再推正确;

C.假设正确,再推正确;

D.假设正确,再推正确.

参考答案：

一、选择题

1. C 2. D 3. B

7. 求证:对于整数时,能被133整除.

证明：① 时,原式=能被133整除;

② 设时, 能被133整除

时,原式=

=能被133整除.

8. 若,且,求证:.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

证明： ① 时,左=

② 设时,

时, 左=

∵,∴左>.

9. 数列满足,先计算前4项后,猜想的表达式,并用数学归纳法证明.

解：计算得: .猜想

① 时,计算得,结论成立;

② 设时, , 则

时,

∴.

课后小结： (1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明;(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想

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