高中数学《5.3 导数在研究函数中的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

导数在研究函数中的应用

1.  函数的单调性与导数：

  一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内

(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；

(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；

2.  函数的极值与导数：

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 

求函数y=f(x)的极值的方法有：

（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；

（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；

3.  函数的最大(小)值与导数：             

求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：

（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；

（2） 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

视频教学：

练习：

1．在下列结论中，正确的有(　　)

(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；

(3)单调函数的导数也是单调函数；    (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A．0个　  　 　 B．2个         C．3个                D．4个

2．函数f(x)＝ax³－x在R上为减函数，则(　　)

A．a≤0         B．a<1< span="">          C．a<2                D．a≤13

3．函数f(x)＝2^x＋x³－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)

A．0　　      　B．1　　　    　C．2　　　   　       D．3

4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

A．y＝sinx      B．y＝xe²           C．y＝x³－x                D．y＝lnx－x

5．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)

课件：

教案：

【教材分析】

导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。

【考纲解读】

1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。

3.会利用导数解决某些实际问题。

【教学目标】

1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程

2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题

【教学重点】

理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题

【教学难点】

原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题

【学   法】

    本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

【教   法】

  数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

【授课类型】复习课

【教学过程】

一、要点梳理

温馨提醒：若函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0,而f′(x)>0是y＝f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．

2．函数的极值与导数

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧___f′(x)＜0_______，右侧__ f′(x)>0_____，则点a叫做函数y＝f(x)的__极小值点___，f(a)叫函数y＝f(x)的极小值．

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__ f′(x)>0_____，右侧___f′(x)＜0_______，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫函数y＝f(x)的极大值．

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．

温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．

3．函数的最值与导数

假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条_连续不间断

的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a，b)内是可导

的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．

温馨提醒：最值与极值的区别与联系：

(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．

(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．

二、课前热身

1．(2012·高考陕西卷)设函数f(x)＝xe^x，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

2．(2012·高考辽宁卷)函数y＝12x²－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(－1，1]    B．(0，1]

C．[1，＋∞)                      D．(0，＋∞)

3．已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)

A．11或18    B．11

C．18                              D．17或18

4．函数f(x)＝x33＋x²－3x－4在[0，2]上的最小值是________．

5．已知a＞0，函数f(x)＝x³－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．

答案:1.D;     2.B;     3.C;      4.－173        5.3

三、例题讲解

考点一：利用导数研究函数的单调性

例1、已知函数f(x)＝4x³＋3tx²－6t²x＋t－1，x∈R，其中t∈R.

(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当t>0时，求f(x)的单调区间．

【解】(1)当t＝1时，f(x)＝4x³＋3x²－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x²＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.

(2)f′(x)＝12x²＋6tx－6t².

令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝t2.

方法感悟：

(1)导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：

①求f′(x)；

②确认f′(x)在(a，b)内的符号；

③作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．

(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：

①确定函数f(x)的定义域；

②求导数f′(x)；

③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；

④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

考点二：由函数的单调性求参数的取值范围

例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0，1)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝x²·[f(x)－a]，且g(x)在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．

【解】(1)设f(x)图象上任一点的坐标为P(x，y)，点P关于点A(0，1)的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，∴2－y＝－x＋1－x＋2，

∴y＝x＋1x，即f(x)＝x＋1x.

(2)g(x)＝x²·[f(x)－a]＝x³－ax²＋x，

方法感悟：

函数单调性确定参数范围的方法：

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．

考点三：利用导数研究函数的极值(最值)

例3、(2013·高考福建卷)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

【解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；< span="">

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a,无极大值.

方法感悟：

(1)求函数f(x)极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f′(x)；

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x₀左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x₀处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x₀处取极小值．

(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：

①求函数在(a，b)内的极值；

②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【课堂小结】

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值与导数

3函数的最值与导数

【布置作业】

练习册60练   p19

【板书设计】

                               课题

一、要点梳理                                         三、例题讲解

二、课前热身                                         四、课堂小结

【教学反思】

以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。变式的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。

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