初中数学《*1.3 一元二次方程的根与系数的关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1.方程的两根与方程系数的关系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a

2.方程两根为x1，x2时，方程为：x2+(x1+x2)X+x1x2=0。

视频教学：

练习：

1.  已知一元二次方程有一个根是，则另一根是        

A.       B.       C.       D. 

2．若方程3x²－4x－4＝0的两个实数根分别为x₁，x₂，则x₁＋x₂＝(　　)

A．－4   B．3    C．－43    D.43

3．已知x₁、x₂是一元二次方程x²－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　)

A．x₁≠x₂　　　　　　   B．x²₁－2x₁＝0   C．x₁＋x₂＝2　　       D．x₁·x₂＝2

4.  已知方程有两个正整数根，则的值是（ ）

A.       B.       C.或       D.或 

5.  若方程：的系数都是奇数，则方程具有整数根的个数是（ ）

A.       B.       C.       D. 

应用例析及练习

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

　　分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

　解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，

∴

解得；

∵方程（2）没有实数根，

∴

解得；

于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是

其中，的整数值有或

当时，方程（1）为，无整数根；

当时，方程（1）为，有整数根。

解得： 

所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

　　说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

　　二、判别一元二次方程两根的符号。

　　例1：不解方程，判别方程两根的符号。  

　　分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定  或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定  或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0  

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，  

∵＜0

∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

　　三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

　　例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。  

　　分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

　　解法一：把代入原方程，得：

　　即

　　解得

　　当时，原方程均可化为：

　　，

　　解得：

　　∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

　　解法二：设方程的另一个根为，

根据题意，利用韦达定理得：

，

∵，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：

，

即

解得

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。  

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

　　例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。  

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。

　　解：∵方程有两个实数根，  
　　∴△

　　解这个不等式，得≤0  
　　设方程两根为  
　　则，

　　∵

　　∴

　　∴

　　整理得：

　　解得：

　　又∵，∴  

说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

　　例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，

　　解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，

∴则有

∴ 

又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：

假设、同号，则有两种可能：

（1） （2）

若， 则有： ；

即有：

解这个不等式组，得

∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若 ，   则有：

即有：

解这个不等式组，得；

又∵，∴当时，两根能同号  

说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。

六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。

例：已知、是方程的两个实数根，求的值。

分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。  

　　解法一：由于是方程的实数根，所以

设，与相加，得：

）

（变形目的是构造和）

根据根与系数的关系，有：

，

于是，得：

∴=0

　　解法二：由于、是方程的实数根，

∴

∴

说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。

　　有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。

七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。

例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。

解：设两方程的相同根为，  根据根的意义，

有   

两式相减，得   

当时， ，方程的判别式

方程无实数解

当时， 有实数解 

代入原方程，得，

所以

于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为

说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：

当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；

（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：

且

另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。

【趁热打铁】

一、填空题：

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。

3、已知关于的方程的两根为，且，则        。

4、已知是方程的两个根，那么： ；

 ； 。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则； 。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是            ，的值为            。

7、已知是的一根，则另一根为        ，的值为        。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：          。

二、求值题：

1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：

1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？

2、已知关于的一元二次方程

（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式

的值。

答案与提示：

一、填空题：

1、提示：，，，∴，

∴，解得：

2、提示：，由韦达定理得：，，∴，

解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，，∵，

∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，，

；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则

；②设＜0，＞0，则。

5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。

7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，

∴，∴

8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，

∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：

二、求值题：

1、提示：由韦达定理得：，，∴  

2、提示：由韦达定理得：，，∴

3、提示：由韦达定理得：，，

∴

4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。

5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，

∴，∴，化简得：；解得：

，；以下分两种情况：

①当时，，，组成方程组：  ；解这个方程组得：；

②当时，，，组成方程组：；

解这个方程组得：

6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：

；①②得：，解这个方程得：；

以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。

所以和相同的根为，的值分别为，。

三、能力提升题：

1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：

解这个不等式组得：＞1

2、提示：（1）的判别式△

＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：

解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；

3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：

求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4

4、答案：存在。

提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：

解这个方程组得：①当时，；②当时，；

所以的值有两个：；；

5、提示：由韦达定理得：，，则

，即，解得：

6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：

，，

∴，∴，∴，

又∵，变形得：，∴

，∴

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课件：

教案：

一、【教材分析】

教 学 目 标	知识 目标	1.理解根系关系的推导过程. 2.掌握一元二次方程的根和系数的关系.
能力 目标	1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 .      2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题.
情感 目标	体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
教学 重点	根与系数的关系的推导、运用．
教学 难点	正确归纳、理解、运用根与系数的关系．

二、【教学流程】

教学环节

教学问题设计

师生活动

二次备课

情

景

创

设

   前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：

郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？

董：什么秘密？

郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？

董：哦？

郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x² – 12x +35 =0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了.

董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x² -35x -200=0的两根的和呢.

师：同学们，你们想知道董沐青不解方程，是怎么求出张老师年龄的吗？

老师创设一段情景对话，调动学生学习兴趣.

引导学生完成下面探究.

自

主

探

究

【探究1】

解下列方程，并填写表格：

方   程			+

    观察上面的表格，你能得到什么结论？

若x₁、x₂为方程关于x的方程的两个根，结合上表，说明x₁+x₂与x₁·x₂与p，q有何关系？请你写出关系式

【探究2】

关于x的方程的两根x₁+x₂与x₁·x₂与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

引导学生利用求根公式给出证明。

证明：当△＞0时，由求根根式得：  ，                                 

 ∴                 

    通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

学生通过计算、猜想、交流、总结出根与系数的关系：

，   .

可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：

             ∵

 ∴

∴，.

  从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

尝

试

应

用

1.利用所学知识解决情景问题？

2.不解方程，求下列方程的两根和与两根积.

（1）x² – 3x +1 =0

（2）3x² – 2x - 2=0

（3）2x² –3x =0

（4）3x² =1

3.已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值？

直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标.

学生先独立求解，再让小组交流，然后学生代表展示.比较不同解法，引导学生谈谈有什么启示？

补

偿

提

高

若一元二次方程-4 x+2=0的两根是、，求下列各式的值：

（1）+                   

（2）+

    进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用.

对内容的升华理解认识

小

结

1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？

2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？

3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？

学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法

 1．如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=____，x₁x₂=____．

 2．如果方程x²+px+q=0（p、q为已知常数，p²－4ｑ≥0）的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=_____，x₁x₂=________；

以两个数x₁，x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）             .

注意：根与系数的关系使用的前提条件____________________.

作

业

必做：

1.教科书课后练习.

2.教科书习题21.2第7题.

选作：

   1.已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数？

   2.若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值.

教师布置作业，并提出要求.

学生课下独立完成，延续课堂.

    考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.

三、【板书设计】

21.2.4  一元二次方程的根与系数的关系

1、对于的方程，若，两根为，.

那么，.

2、根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程，即.

（2）方程为一般形式。即形如：.

（3）判别式大于等于零，即.

四、【教后反思】

本节课通过情景对话，调动学生学习兴趣，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系时分两个层次（即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现）.

收获：

1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础.

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.

    3.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验.

不足：

学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清， 两根和、两根积有小部分同学有些混淆.

 总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想.

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