初中数学《12.1 二次根式》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

语文	数学	英语	物理	化学
生物	史地	政治	道德与法治
美术	音乐	科学	全部课程 ↓

知识点：

1、二次根式定义

形如

式子叫做二次根式；

二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。

①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；

②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

①根号下无分母，分母中无根号；
②被开方数中没有能开方的因数或因式。

知识点3 二次根式的性质

（1）非负性 √a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

（2）（√a）^2=a （a≥0）

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或

（3）非负代数式写成

注意：

（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

知识点4 最简二次根式和同类二次根式

（1）最简二次根式：

☆最简二次根式的定义：

①被开方数是整数，因式是整式

②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号

☆同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

视频教学：

练习：

1.函数y=的自变量x的取值范围是（）

A. x=1 B. x≠1 C. x≥1 D. x≤1

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A. 　　 B. 　　 C. 　 D.

3.有下列说法：
①一元二次方程x²+px-1=0不论p为何值必定有两个不相同的实数根；
②若，则一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根为－2；
③代数式有最小值1；
④有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；其中正确的是（）

A. ①④ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

4.函数y=中，自变量x的取值范围是（）

A. x≥-3 B. x≥-3 且 x≠1 C. x≠1 D. x≠-3且x≠1

5.若有意义，则m能取的最小整数是( )

A. m＝0 B. m＝l C. m＝2 D. m＝3

课件：

教案：

【教学目标】

1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；

2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；

3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。

【教学重点】

探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算。

【教学难点】

1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；

2．理解、掌握、运用二次根式性质（a）²＝a（a≥0）。

【教学准备】多媒体课件

【教学过程】

一、创设情景：

教师引导：前面我们学习了平方根和算术平方根的有关知识，已经初步会用根号表示一些实数及一些具体实际问题中的数量关系。今天这节课，我们一起利用算术平方根的相关知识来探索学习新的知识。

情景一：　这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．

如果该正方形的面积为30m²，你知道该正方形的边长是多少米吗？

如果该圆的面积为S m²，你知道该圆的半径是多少吗？

情景二：这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？

情景三：一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)满足关系式：,试用h表示t(g的值取10m/s²)。　

（说明：学生观察图片，回答问题：）

学生一：正方形的边长是30m；学生二：圆的半径是Sπ m；

学生三：钢索的长度是a2＋81m．学生四：

【设计意图】：通过创设三个问题情景，给学生展现生活中常见的两张图片，让学生感受到数学知识的学习的源动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现，为探索新知作好准备。

二、探索活动：

（一）课题引入：

30、Sπ、a2＋81、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？（说明：学生积极思考，回答问题．）

1．这些式子都含有根号…；

2．符合这些特征的式子有：16、2、a、…．

教师板书：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，其中，a叫被开方数．

【设计意图】：从由学生熟悉的情景入手得到式子，结合算术平方根的概念，引导学生理解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的概念。

（二）思考探索一：

1．辨析：下列哪些式子是二次根式？为什么？

（1）35；（2）―(―3)2；（3）32；（4）xy（x、y异号）．

（5）－12；（6）a2＋1；（7）－m（m≤0）

（说明：学生互相讨论，踊跃回答，教师点拨）

2．思考与交流：

（1）当a＜0时，a有意义吗？为什么？

（2）当a≥0时，a可能为负数吗？为什么？（说明：集体讨论，代表解答，教师引导总结归纳）

教师引导说理验证：（1）没有意义，因为负数没有算术平方根；

（2）不可能，即a是非负数，当a≥0时，a≥0．

教师板书：式子a有意义的条件：a≥0；当a≥0时，a≥0．

【设计意图】：通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，问题设置的目的，是使学生充分理解二次根式的意义。

（三）思考探索二：

1．例1、当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？

（1）；（2）；

（说明：学生独立思考，代表回答，教师板书解答过程。）

（1）解：∵要使式子有意义，则x＋1≥0，∴x≥－1，

∴当x≥－1时，式子在实数范围内有意义．

（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x²≥0∴x²＋2≥2﹥0．

∴x取任何实数时，式子在实数范围内都有意义．

归纳总结：如何确定字母的值，使含有二次根式的式子在实数范围内有意义?（只要当被开方数是非负数列出相应不等式求解或利用推理判定字母取值范围。）

2．练习：课本P149第1题．（学生上台板演，教师巡视点拨）

【设计意图】：通过例1的教学，侧重巩固对二次根式有意义的理解，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推理能力。

（四）思考探索三：

1．的意义是什么？你会计算（2）²吗？类似地，（4）²、（9）²、（）²、（）²的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（）²的结果是什么？（学生活动：小组交流，代表回答。）

2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，（2）²＝2，同理：（4）²＝4，（9）²＝9，（）²＝0．01，（30）²＝30．

教师引导说理验证：事实上，a（a≥0）是a的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当a≥0时，（）²＝ a．

教师板书：当a≥0时，（）²=a; 反过来，当a≥0时，a=）²

2．学生快速口答：

（1）（）²；（2）（）²；（3）（）²（a＋b≥0）．

3．例2、计算：

（1）（）²－（）²；（2）（3）²；（3）（－2）²．

4．例3、如图，长3米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．

(说明：例2和例3是二次根式基本性质（）²=a（a≥0）的直接运用及实际应用，让学生先独立尝试探索解答，学生代表口答，教师板演示范过程。)

5．随堂练习：（1）《课本》P149第2题．

（2）若实数x、y满足＋（y＋2）²＝0，求y ^x的值．

(3)

(说明：学生板演与交流，教师巡视，个别指导。)

【设计意图】：通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用算术平方根的意义进行科学的说理验证，渗透类比、归纳的数学思想方法，感受说理证明的必要性；进而又通过例2与例3的教学，引导理解二次根式的性质，能直接运用其性质进行计算，能运用其性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解和综合运用能力。

三、课堂总结：（引导学生自主小结本节课所学知识，感悟收获）

1．二次根式的要概念；

2．二次根式有意义的条件；

3．二次根式的基本性质．

【设计意图】：通过师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．

四、课后作业：

1．《课本》P151第1、2题．

2．补充习题：P93-94

3. 同步练习：P85-86

【设计意图】：通过学生独立完成作业，自查反馈，进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用。

初中生学习推荐：

初中语文(微课+课件+教案+练习题)资料汇总