知识点：
一、定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2a
k=(4ac-b²)/4a
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
视频教学：
练习：
1．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
C．等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系
D．半圆面积 S 与半径 R 之间的关系
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝ C．y＝x﹣2+x2 D．y＝
3．若关于 x 的函数 y＝（2﹣a）x2﹣x 是二次函数，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
4．下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）
C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2
5．下列函数中，其中是以 x 为自变量的二次函数是（ ）
A．y＝x（x﹣3） B．y＝（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C．y＝x2+ D．y＝
课件：
教案：
课题：5.1二次函数 |
科目：数学 | 教学对象：九年级 | 课时：第一课时 |
一、教学内容分析 |
《二次函数》是在学习了一次函数、反比例函数的基础上学习的，它是一种非常基本的初等函数，也是一种数学建模的方法。二次函数中模型与实际生活紧密相连，学好二次函数可以解决实际生活中的一些问题，提升学生的数学应用能力，同时也是学好高中数学的奠基过程。
|
二、教学目标 |
1.知识与技能： 通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。 2.过程与方法 学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3.情感态度与价值观 通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。 |
三、学情分析 |
与七八年级相比，九年级的学生面临中考的压力大，部分学生热情高、主动参与性强，但经过初中两年学习，学生两级分化明显、能力差异较大、整体不如七八年级爱积极发言、比较沉默，不过学生在八年级已经学习了一次函数和反比例函数，有了一定的函数基础，因此在教学时，教师一要激发学生的学习兴趣，二要在学生数形结合的思想的培养上，应鼓励学生自主探究，合作交流。
四、教学策略选择与设计 |
学习二次函数，要紧扣数学建模思想努力让学生会从实际问题中获取信息，建立数学，分析问题和解决问题，因此首先以学生感兴趣的实际问题为背景，借助多媒体吸引学生的注意力，引发学生对问题的思考建模二次函数，通过合作探究，得出二次函数的概念，归纳出二次函数的解析式。
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五、教学重点及难点 |
1.教学重点：认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。 2.教学难点：根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。 |
问题与情景 | 师生行为 | 设计意图 |
以启发谈话的方式调动学生学习知识的积极性。
| 【温故知新】 教师提问： 你能帮老师解决学案上的5个小问题吗？比一比，看哪位同学做得既快又准确。 （尝试让学生自己独立完成）
| 以谈话的方式，激发学生学习新知识的动机，使之成为主动、积极的探索者，并在解决实际问题的过程中体验成功的快乐，同时为新课的引出和学习奠定基础。 | 【活动1】 问题：请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量关系： 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是: .
2.一根弹簧长15cm，它能挂的物体质量不能超过18kg，并且每挂1kg就伸长0.5cm。写出挂上物体后的弹簧长度y（cm） 与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式： .
3.汽车从南京出发开往上海（全程约300km)，全程所用时间t(h)与速度v(km/h)之间的函数关系式为: .
4.用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,设长方形的长为x米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为: .
5.一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框.已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元.设镜面宽为x米，那么总费用y（元）与镜面x（米）之间的函数关系式为: . | 【合作探究】
通过幻灯片展示5个小问题，让学生口答自己所得函数关系式，教师加以适当的引导。
学生根据题目列出关系式： （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
教师提问： 观察以上五个问题所写出来的五个函数关系式，你有认识的函数关系式吗？ （让学生充分发表意见，提出各自看法。） 教师及时复习一次函数、反比例函数的一般形式，并与（1）、（4）、（5）进行比较，从而引出新函数。
教师引导学生将（4）、（5）化简，并再次观察这3个函数关系式，有什么共同特征？ （学生相互交流） 类比一次函数定义，通过观察、思考、交流等活动，让学生自己归纳得出二次函数的定义以及一般形式。 教师归纳总结： 经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式。 （a,b,c是常数，a≠0）
【获取新知】 板书：我们把形如y=ax²+bx+c （a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 称：a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次； c为常数项。 教师提问：（1）、（4）、（5）对应一般形式中的系数a、b、c分别是什么？（学生口答） 思考：概念中的二次项的系数a为什么不能是0？b和c可以是0吗？‚若b和c有一个是0,上面的函数式是怎样？它还是二次函数吗？ƒ若b和c全为0，函数关系式又是怎样？是二次函数吗？„你认为，一般式中a、b、c的取值范围是什么？x的取值范围又是什么？ 再次回到实例，让学生自己感悟在实际问题中自变量的取值范围不一定是全体实数。
| 设计“问题串”引导学生经历探究实际问题中两个变量之间的数量关系，写出函数表达式的过程，想象将实际问题数学化的基本方法。 通过五个实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，以复习的方式把学生的思路引导函数大家庭中，暗示寻找新的家庭成员，培养学生的求知欲。为概括二次函数的定义打下基础。
充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心。
让学生自己归纳出二次函数的一般式，发展学生的数学符号感.此时学生的学习积极性调至最高点，在猜想、归纳中体会到成功的喜悦。
认识二次函数解析式中的a,b，c,为下面的学习做铺垫。
通过不断的提问，让学生在探索中自主的掌握新知，师生在互动中愉快地完成教学内容。 | 【活动2】 1.小试身手
2.循序渐进
3.概念巩固
4.拓展运用
【活动3】 课堂练习 | 【小试身手】 例1.下列函数中，哪些是二次函数？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （（2），（3）是二次函数） 教师提问：判断二次函数关键看什么？ （学生发表各自看法） 教师总结：整式；‚自变量的最高指数是2；ƒ二次项的系数不为0.
【循序渐进】 例2．说出下列二次函数的a、b、c的值. （1） （2） （3）（4） （（3）、（4）学生板演） 教师强调：只有把解析式整理成一般形式，才能正确判断解析式中的a，b，c.
【概念巩固】 例3.关于x的函数，当m为何值时，y是x的二次函数. （学生分析，教师板书） 教师强调：二次函数的二次项系数不为0。
【拓展运用】 例4 .已知函数y=ax2+bx+c. （1）当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数? （2）当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数? （3）当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?
1.下列各函数中，哪是正比例函数?哪些一次函数?哪些二次函数?①； ②；③； ④；⑤； ⑥；⑦ ⑧. 答：其中是正比例函数的有_________（填题号）； 其中是一次函数的有______（填题号）； 其中是二次函数的有___________（填题号）.
2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数. （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
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这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，并掌握如何判别二次函数的方法。
这是一道认识二次函数解析式中a，b，c的题，为往后的学习做好铺垫。
突出本课重点，明确二次函数的特征，掌握二次函数的定义。
让学生体会一次函数、正比例函数和二次函数的差异，复习巩固各个函数的一般形式，再次熟练判定二次函数的方法。
这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，区分一次函数。 调动学生的积极性，活跃课堂气氛，在参与做题的同时巩固知识。
让学生体会到二次函数应用的广泛性，同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判断二次函数的方法，强化二次函数的模型能建构并解决实际生活问题。
| 【活动4】 课堂回眸
| 【课堂回眸】 今天这节课你有什么收获 ________________ ？
结合学生所述，教师给予指导： （1）正确理解“二次函数”定义，关注和定义有关的注意问题。 （2）生活是数学的源泉，探索是数学的生命线。 | 课堂回眸以学生自由讨论的形式进行，借此促进师生心灵的交流，学生对自己清醒的的认识和总结，必然促进其自主学习，获得可持续发展的动力。
| 【活动5】 布置作业 | 【布置作业】
完成学案的随堂演练 （共6题）
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不同形式的练习题让学生再次巩固知识，然后根据学生的练习情况及时采取弥补和调整.
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六、教学过程 |
七、板书设计
5.1二次函数
多 媒 体 放 映 | 课题 二次函数定义：
二次函数特征： ‚ ƒ | 学 生 板 演 |
八、教学评价与反思
本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。本节课让学生在原有认知基础上，通过丰富具体实例，提供问题情景，激发学生兴趣，引出对新知识的好奇与思考，进一步让学生体会二次函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，使学生在问题情景中构建二次函数的意义，提升对二次函数概念的理解。
本节课由几个主要环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流”的新课标的要求。本设计同时还注重发挥多媒体的辅助作用，使学生更好地理解数学知识；在学习的过程中，前面所学的反比例函数和一次函数起到了“脚手架”的作用。本课体现的自主学习方式是以学生为学习的主体，通过独立思维、分析、探索、实践、质疑、创造等体验用函数思想去描述研究变量之间变化规律的意义，帮助学生建构二次函数的概念，以达到学习目标。
新知识学生是否掌握，教师可以通过课堂练习来检验，教师的主导作用应体现在恰当帮助学生选择自主学习的内容和进程并及时予以调整和指导；做好进行个性化指导的各种准备等方面。通过学生之间的讨论，激发他们学习数学的兴趣和积极性，体会数学从实践中来，培养学生的主体意识、合作意识和创新意识。通过与其它知识的联系以及不断地应用，在后续的学习中，通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋上升地理解二次函数的本质，掌握好二次函数定义为下节课学习二次函数的图像做准备。
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