初中数学《5.4 二次函数与一元二次方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

1.定义：一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax²的性质

（1）抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y=ax²的图像与a的符号关系.

①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；

②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²（a≠0）.

3.二次函数 y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：

y=a（x - h）²+k的形式，其中

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax²；

②y=ax²+k；

③y=a（x - h）²；

④y=a（x - h）²+k；

⑤y=ax²+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下；

|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

∴顶点是:

对称轴是直线:

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线

，故：

①b=0时，对称轴为y轴；

②

（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

③

（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c=0，抛物线经过原点;

②c>0，与y轴交于正半轴；

③c<0，与y轴交于负半轴.

以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：y=a（x - h）²+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x_1、x₂，通常选用交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂).

视频教学：

练习：

1．已知二次函数y＝（a﹣1）x²﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（　　）

A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2

2．已知抛物线y＝ax²+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：

①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；

②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；

③y的最小值不大于﹣2；

④若AB＝AC，则．

其中正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．若二次函数y＝x²+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x²+bx＝5的解为（　　）

A．x₁＝0，x₂＝4 B．x₁＝1，x₂＝5 C．x₁＝1，x₂＝﹣5 D．x₁＝﹣1，x₂＝5

4．如图，抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a﹣b＝0；

②abc＜0；

③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；

④方程ax²+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根；

⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y₂＜y₁．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④

5．如图，已知二次函数y＝mx²﹣4mx+3m（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（　　）

A． B． C． D．

课件：

教案：

【教学目标】

1、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根；

2、经历由图像求方程近似根的探索活动，感受数学中“无限逼近”的重要思想方法，进一步利用计算器进行估算的能力；

3、通过独立思考、合作探究，体会数形结合的数学思想．

【教学重点】

利用二次函数y=ax²+bx+c的图像求一元二次方程ax²+bx+c=0的近似根．

【教学难点】

如何逐步缩小根的范围求方程的近似根．

【教学方法与教学手段】

本节课通过“预学单”引导学生课前自主学习，课堂先根据“预学单”反馈的情况开展教学活动，经历“个人思考---组内讨论---教师引导---学生归纳---教师总结”的过程，利用二次函数y=x²-2的图像求出方程x²-2=0介于1～2之间的近似根，然后让学生自主探究“如何利用函数y=x²+2x-5的图像求方程x²+2x-5=0介于1～2之间的近似根”，再运用所积累的经验在教师的引导下提出问题并解决问题。本节课主要通过小组交流讨论及师生对话的互动方式开展活动，在探索的过程中体验数学中“无限逼近”的重要思想和方法，进一步提高“数形结合”探讨问题的研究能力和借助计算器进行估算的方法与能力。