初中数学《7.1 正切》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

(1)任意角的正切函数：

如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z.

(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：

根据定义知tan α＝sin αcos α(α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z)．

(3)正切值在各象限的符号：

根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．

(4)正切线：

在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．

(1)y＝tan x，x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：

(2)正切曲线的特征：

正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．

视频教学：

练习：

1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）

A．       B．       C．       D．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为（　　）

A．       B．       C．       D．1

3．若α为锐角，且cosα＝0.4，则（　　）

A．0°＜α＜30°       B．30°＜α＜45°       C．45°＜α＜60°       D．60°＜α＜90°

4．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（　　）

A．小于45°       B．小于30°       C．大于45°       D．大于30°

5．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　）

A．﹣1       B．2       C．3       D．2.5

课件：

教案：

【教材分析】

   本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及到以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解.例如本课中台阶的倾斜程度由铅直高度与水平宽度的比来反映这一知识点，逐步引导学生得出正切定义，感觉衔接得较为顺畅.

【学情分析】

    在以前的学习中，学生已分别对直角三角形的边、角之间的关系有一定了解，并掌握了相似三角形的相关知识,具备了一定的抽象、概括和归纳的能力.在本节课的教学中，通过生活中的实际问题引导学生进行有效的小组讨论,激发学生的求知欲望，并组织学生通过观察、分析讨论，从而归纳出所观察现象的本质特征，再总结出有价值的理论知识.在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力, 学生通过自主探究、讨论归纳获得正切函数的概念.

【教学目标】

    1.正确理解正切函数的概念；会在直角三角形中求出某一个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大，能用正切知识解决较为简单的实际问题；

2.经历操作、观察、思考、求解等过程，引入正切函数概念的过程中，向学生渗透函数思想与数形结合思想，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决问题的能力；

3.在解决问题的过程中，培养学生多角度思考问题和提出问题的能力，在探究问题的过程中，培养学生合作意识与创新精神。

【重点难点】

    教学重点：正确理解锐角正切的意义，会将某些实际问题转化为解直角三角形的问题.

    教学难点：以台阶为主线展开对正切的概念与性质的探索。

【教学准备】

教师准备：制作好课件和几何画板

学生准备：勾股定理、相似三角形知识

【教学和学法】

情境引导法和探究发现法。

【教学过程】

一、创设情境、引入新知   

1．出示生活中的图片

明确在生活中,我们时常可以看到:人们在行走，骑自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．

2．出示问题1：而我们生活中接触的比较多的是台阶,为了给人们生活带来方便，会设计不同的坡度，那么它的陡缓程度如何判断的?

如图1，(1) 哪个台阶更陡？ (2) 你是怎么判断的？

3．出示问题2:台阶的陡缓程度跟图形中什么元素有关?

结论：台阶的陡缓程度与台阶的倾斜角度α大小有关

设计意图：通过创设情境极大地调动了学生们学习的积极性，让学生体会到了数学与生活的联系，点燃了学生的求知欲.在概括出判断台阶陡缓程度的直观方法和依据，并引出本节课所要探究的问题.

二、动手操作、探索新知

（一）动手操作

班级分了六个小组，选好组长，每个小组都有标注①②③三块台阶模型，按照要求一起进行以下操作探究

1．学生拿出标柱①②两块台阶模型，观察和操作，回答：哪个台阶最陡？

   思考：如何判断的？

2．学生拿出标注②③两块台阶模型，观察，操作，回答：哪个台阶最陡？

   思考：如何判断的？

3．学生拿出标注①③两块台阶模型，观察，操作，回答：哪个台阶最陡？

   思考：如何判断的？

   你有什么发现？

设计意图：进一步引导学生发现倾斜程度与边之间的关系；由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡，有一定难度需要学生进行合作探究.

（二）验证猜想

 思考: 对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与邻边的比值是否是一个确定的值呢？

1．通过操作发现特点之后，老师进行几何画板的演示，验证其猜想。

   2．几何论证

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB₁C₁、Rt△AB₂C₂、Rt△AB₃C₃……那么，你有什么发现呢？

    观察、思考，并归纳、小结：

可以得到Rt△AB₁C₁∽Rt△AB₂C₂∽Rt△AB₃C₃……

根据相似三角形的性质，得

……

也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定．

（三）归纳总结

1．结论：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

2．归纳：正切的定义

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。

即：tanA＝________＝__________

揭示课题：7.1 正切

3．教师寄语：锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系,它是两个变量之间的函数关系,既新奇,又富有魅力,我们一定要与它建立好感情！

4．知识拓展：学生利用Ipad现场查找“三角函数的历史”、“三角函数的由来”等知识，并呈现给学生看，让学生对三角函数有更深入的思考。

三、尝试应用、巩固新知

（一）小试牛刀

1．判断真假

2．快速口答

根据下列图中所给条件分别求出∠A、∠B的正切值。

3．典型例题

例1: 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 12，，求AB的值。

例2.如图，在Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°，AC=3，AB=5，若CD是AB边上的高，求：∠ACD ∠BCD的正切值

结论：等角的正切值相等。

例3：如图，在等边三角形 ABC 中，AB＝2，求tanA．

发现：构造直角三角形,通常作高

4．课堂小练

【设计意图】通过以上练习题，让学生进一步巩固新知，加深印象，达到对正切函数在不同类型题目中的灵活运用。

四、分享收获，完善知识

1. 我的收获：

  （1）知识：……

  （2）方法：……

2. 我的疑惑：……

3. 我的想法：……

设计意图：最后学生已有的认知基础上，让学生就本节课的学习从知识、方法、情感等层面谈自己体验感悟，四个“什么”，其目的是培养学生总结提升的能力和激发学生探究新知的欲望。

五、作业布置 分层练习

A组题：课本P.40 第1小题   练一练 第1小题

B组题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=,求AB的值.

2. 课本P.40 第2小题

C组题：探索题：一个盗窃犯夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程。请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高。

【教学设计反思】

    本堂课主要让学生利用对台阶的倾斜程度来探索得到正切的概念，培养学生主动探索的意识和勇于探索的精神，以及多方面阐述自己观点的能力，让学生深入的理解和运用正切概念，提高学生解决问题的能力。

    本课在“尊重学生原有知识和经验的基础上进行教学，自主探索、合作学习”等方面进行大胆尝试与创新。为学生构建知识平台，同时注重教法与学法的优化，合理利用网络技术搭建互动平台，提高课堂效率，凸显网络技术对学科整合的优越性。

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