高中数学《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》微课精讲+知识点+教案课件+习题

语文	数学	英语	物理	化学
生物	史地	政治	道德与法治
美术	音乐	科学	全部课程 ↓

知识点：

两种度量制的定义

1．角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称．

2．弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制．

二

两种度量制的不同

三

两种度量制的相同

1. 以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值．

2. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

四

两种度量制的换算

五

两种度量制下的扇形弧长，面积计算公式

视频教学：

练习：

1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是(   )

A.       B.       C.       D.

2.集合，，则有(   )

A.       B.       C.       D.

3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是(   )

A.       B.       C.       D.

4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为(   )

A.       B.       C.       D.

5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为(   )

A.       B.       C.       D.

6.已知半径为2的扇形的弦长，则该扇形的弧长是____________.

7.已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为________.

8.已知扇形的半径为2，圆心角为，则弧长为________；

9.已知一个扇形的弧长为,其圆心角为,则这扇形的面积为______．

10.时间经过4h,时针,分针各转了多少度?各等于多少弧度?

课件：

教案：

教学课时：1课时

　　教学目标：

　　1、类比1度的概念，理解1弧度的角及弧度的概念；

　　2、掌握角度与弧度之间的换算公式，并能熟练进行角度与弧度的换算；

　　3、理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用；

　　4、学生在探究弧度制概念及其与角度值的换算公式的过程中，体会类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想以及数形结合的思想，培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养.

　　教学重点：

　　理解弧度制的定义；正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用.

　　教学难点：

　　弧度制引入的必要性以及定义的合理性.

　　教学过程：

　　一、创设情境

　　问题1：一个矩形长1米，宽50厘米，试计算这个矩形的面积.

　　【学生活动1】

　　学生自主完成计算.

　　【教师活动1】

　　教师点评学生计算结果.

　　问题2：长度单位既有国际公制，又有中国市制，不同的单位制度会给不同环境下解决问题带来方便.除了米以外，还有尺、英尺、码（约91.4厘米）、海里等，你还能举出生活中类似的实例吗？

　　【学生活动2】

　　由学生口答.

　　【教师活动2】

　　教师补充学生列举的实例，引出角既可以用角度来度量，也可以用弧度来度量.

　　【设计意图】

　　通过以上两个问题，学生感受到无论在数学中，还是在实际生活中，同一个量可以有不同的度量单位，不同背景下可根据实际需要选择不同的度量单位.同时，在同一个问题中不同的度量单位之间不能直接运算，需要进行换算成统一单位才能计算.为弧度制的引入做好铺垫.

　　二、构建概念

　　问题3：在初中几何里，1°的角是怎样定义的?度、分、秒之间采用什么进制？

　　【学生活动3】

　　由学生回忆并口答.

　　【教师活动3】

　　教师点拨：“度”定义中的关键词—等分，角度制—60进制.

　　【设计意图】

　　学生已经知道用角度度量角，这点很重要，它是弧度教学的知识基础.60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度.给出弧度制引入的必要性.

　　问题4：折扇在打开、合拢的过程中，可以看成是扇形的圆心角在变大、变小.那么在这个过程中，哪些量在发生变化？哪些量没变？圆心角的大小与半径有关吗？

　　【学生活动4】

　　学生在教师的引导下，观察GGB演示动画1，将折扇抽象成扇形，体会折扇在打开、合拢的过程中，扇形的圆心角的变化情况，并回答：扇形半径不变，扇形的圆心角随弧长的增大而增大，随弧长的减小而减小.

　　【教师活动4】

　　教师引导学生观察GGB演示动画，对回答问题的学生及时鼓励.

　　问题5：在射线上任取两点A,B，绕着O点旋转得到两段弧.那么，这两段弧的半径相等吗？所对的圆心角相等吗？圆心角的大小与半径有关系吗？你能利用学过的知识进行解释吗？

　　【学生活动5】

　　学生先独立思考，然后小组讨论形成小组意见，最后展示本组讨论结果.

　　【教师活动5】

　　教师演示GGB动画2，并参与到学生的讨论中，鼓励学生借助初中的弧长公式展开讨论.师生共同得到讨论结果：扇形的圆心角与半径无关，与弧长和半径的比值成正比，即.

　　问题6：通常，我们把叫做角的弧度数.那么如何定义1弧度的角呢？你能给出弧度制的概念吗?

　　【学生活动6】

　　由学生自主给出1弧度和弧度制的定义，提高学生概括归纳能力.

　　【教师活动6】

　　教师评价学生回答的问题.

　　追问：弧度制下的扇形弧长公式是什么？

　　教师板书：弧度制（这只是本节课课题的前半部分）.

　　【设计意图】

　　通过设计层层递进的数学问题，解释引入弧度制的合理性.

　　通过问题4、问题5，学生发现扇形的圆心角的大小与半径无关，引起学生的思维冲突，大胆猜测与弧长和半径的比值有关系.不论是定性、定量还是几何直观，得出共同的结论：同一个圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关.（弧度制的唯一确定性，即合理性）

　　问题7：请你用尺规作图，测量1弧度的角等于的角吗?你能说出角度制和弧度制的相同点和不同点吗？

　　【学生活动7】

　　学生自己利用圆规画出1弧度的角，用量角器测量后，发现1弧度的角大约是，远远大于的角.

　　对于角度值与弧度制的联系和区别，小组间展开讨论，并展示讨论结果：

　　1.角度制是“等分”出来的，而弧度制“用圆的半径作单位去度量弧”来刻画的，即圆心角的弧度数就是弧长与半径的比值.

　　2.角度制是六十进制，而弧度制是十进制，弧度是实数.

　　3.角度制的单位是，而弧度制的单位是1弧度.

　　【教师活动7】

　　教师根据学生的回答，进行补充完善.弧度单位rad可以省略不写.不论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.

　　【设计意图】

　　角度制与弧度制的区别、联系、变化，新旧概念的辩证统一.

　　问题8：请独立填写下列表格.并回答：角度制、弧度制之间如何换算？ 

　　【学生活动8】

　　如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.

　　【教师活动8】

　　追问：如果把角的旋转方向变为顺时针，你能得到怎样的结论？

　　教师引导学生从特殊到一般来探究弧度制与角度制之间的换算公式.同时教师板书课题的另一部分：及其与角度值的换算.

　　追问：特殊地，1弧度近似为多少度？1度近似为多少弧度？

　　【设计意图】总结角度与弧度的互化，明确核心公式，以及弧度制与角度制之间的换算公式.

　　三、例题讲解

　　例1（课本10页）把化为弧度（用表示），并在平面直角坐标系下作出它们的终边.

　　例2（课本10页）把化为角度.

　　变式练习：请填写下表

　　【设计意图】

　　角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.学生能熟练套用公式解决问题.要求学生熟练掌握特殊角角度与弧度的换算.

　　例3（课本10页）利用弧度制推导扇形的面积公式，其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径.

　　练习：

　　1.推导扇形的面积公式，其中是扇形的圆心角，r是扇形的半径.

　　2.已知扇形圆心角为，半径为2cm，求扇形的面积.

　　【设计意图】

　　学生独立完成，展示交流，教师在学生解题思路和规范性方面进行指导.要求学生熟练掌握弧度制的扇形面积公式.

　　四、课堂练习

　　1.（课本11页练习A第1题）

　　2.（课本11页练习A第2题（1）（3）（5），第3题（1）（3）（5））

　　3.（课本11页练习A第5题（1），并求扇形面积）

　　五、课堂小结

　　通过本节课，你有哪些收获或不足？

　　1.知识层面

　　2.思想方法层面

高中生学习推荐：

高中化学(微课+课件+教案+考点)汇总

图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

点击阅读原文下载全册PPT课件教案习题整套资料