高中数学《7.2.3 同角三角函数的基本关系式》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin²α＋cos²α＝1.

(2)商数关系：cos αsin α＝tan α.

2．三角函数的诱导公式

公式	一	二	三	四	五	六
角	2kπ＋α(k∈Z)	π＋α	－α	π－α	2π－α	2π＋α
正弦	sin α	－sin_α	－sin_α	sin_α	cos_α	cos_α
余弦	cos α	－cos_α	cos_α	－cos_α	sin_α	－sin_α
正切	tan α	tan_α	－tan_α	－tan_α
口诀	函数名不变，符号看象限	函数名改变，符号看象限

视频教学：

练习：

1．(2016·四川卷)sin 750°＝________.

解析　sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝21.

答案　21

2．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1312，则tan α＝________.

解析　因为α是第四象限角，sin α＝－1312，

所以cos α＝＝135，

故tan α＝cos αsin α＝－512.

答案　－512

3．已知tan α＝21，且α∈23π，则sin α＝________.

解析∵tan α＝21＞0，且α∈23π，∴sin α＜0，

∴sin²α＝sin2α＋cos2αsin2α＝tan2α＋1tan2α＝＋11＝51，

∴sin α＝－55.

答案　－55

4.＝________.

解析　＝

＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.

答案　sin 2－cos 2

5．(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin4π＝53，则tan4π＝________.

解析　由题意，得cos4π＝54，∴tan4π＝43.

∴tan4π＝tan2π＝－4π＝－34.

答案－34

6．(2017·扬州中学质检)向量a＝，tan α1，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＋απ＝________.

解析　∵a＝，tan α1，b＝(cos α，1)，且a∥b，∴31×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝31，

∴cos＋απ＝－sin α＝－31.

答案　－31

7．(2017·广州二测改编)cos－θπ＝31，则sin＋θ5π＝________.

解析　sin＋θ5π＝sin－θπ＝cos－θπ＝31.

答案　31

8．(2017·泰州模拟)已知tan α＝3，则sin2α－cos2α1＋2sin αcos α的值是________．

解析　原式＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＋2sin αcos α

＝(sin α＋cos α)(sin α－cos α)(sin α＋cos α)2＝sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝3－13＋1＝2.

答案　2

9．已知α为钝角，sin＋απ＝43，则sin－απ＝________.

解析　因为α为钝角，所以cos＋απ＝－47，所以sin－απ＝cos－απ＝cos＋απ＝－47.

答案　－47

10．已知sin α＝55，则sin⁴α－cos⁴α的值为________．

解析sin⁴α－cos⁴α＝sin²α－cos²α＝2sin²α－1＝52－1＝－53.

答案－53

11．化简：·sin(－α－2π)π＝________.

解析　原式＝tan α·cos3α·(－sin α)sin2α·(－cos α)·cos α＝sin2αcos2αsin2αcos2α＝1.

答案　1

12．(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．

解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)

＝asin α＋bcos β＝3，

∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)

＝－asin α－bcos β

＝－3.

答案　－3

课件：

教案：

教学目标：

1.通过三角函数定义，导出同角三角函数的基本关系，并能运用同角三角函数的基本关系进行三角函数的化简和证明

2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式，通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简于三角恒等式的证明。

3.通过同角三角函数关系的应用是学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等式等变形的能力，树立转化与化归的思想方法。

重点难点：

教学重点：课本的两个公式的推导及应用。

教学难点：三角恒等式的证明。

教学过程

一、复习引入：填一填：

30°
45°
60°
90°

想一想：你能根据上面的表格得出同一个角的三个三角函数之间有一些什么关系?

二、讲解新课：

同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）平方关系：      （2）商数关系：

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：，，等。

三、例题分析：

（一）求值问题：

例1．已知且是第三象限角，求角的余弦和正切值.

变式： 已知，求角的余弦和正切.

小结：

1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

（二）化简：

例2.化简.

    拓展练习 

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

1.尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；

2.尽量使分母不含三角函数式；

3.能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，

（三）证明三角恒等式：

     例3.求证： .

小结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：

（1）从一边开始，证明它等于另一边；    

（2）证明左右两边同等于同一个式子； 

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。

四、课堂总结：

本节课学习了以下内容：

1.同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

（2）商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠kπ＋π2，k∈Z)．

2.两种关系在实际问题中的正用、逆用、变形用。

3.“弦化切”，“切化弦”，“ 1的代换”及“分类讨论”思想的运用本节课学习了以下内容：

五、课后作业：课后显示检测（五） 1-7

六、板书设计：

   在板书中突出本节重点，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的 教学方法。

1.2.2 同角三角函数的基本关系

同角三角函数基本关系             练习：

（公式1、公式2）             

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例：┈┈┈

七、课后反思：

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