高中数学《7.3.1 正弦函数的性质与图像》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

1、正弦函数图象的作法：

（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；

（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。

注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。

2、正弦函数的性质

（1）定义域为，值域为；

（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数的最小正周期是；

（3）奇偶性：奇函数；

（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。

3、周期函数

函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。

4、关于函数的图象和性质

（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；

（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。

5、正弦型图象的变换方法

（1）先平移后伸缩

的图象的图象

的图象

的图象。

（2）先伸缩后平移

的图象的图象

的图象

的图象。

视频教学：

练习：

1. 用五点法作的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是

2. 函数的最小值等于

-3 -2 -1 -

3. 已知，且，则的值等于

4. 已知函数，则的范围是

5. 函数的大致图象是

6. 函数的奇偶性是_________

7. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，

且当时，，则的值为__________

8. （填“>”“<”或“=”）< span="">

9. 若，且，则的取值范围是________

10. 函数的单调递增区间为_________

课件：

教案：

教学课时：第2课时

　　教学目标：

　　1、学生能根据正弦函数的性质，通过描点法画出正弦函数的图像；

　　2、学生能借助正弦函数的图像，探究正弦函数的对称性，培养学生数学抽象的核心素养；

　　3、学生能找到确定正弦函数图像的关键五点，用五点法作简单的正弦型函数的图像，并能发现它与正弦曲线的关系，培养学生直观想象的核心素养.

　　教学重点：

　　正弦函数的图像及五点法作图.

　　教学难点：

　　利用正弦函数的性质画正弦函数的图像.

　　教学过程：

　　一、问题引入

　　问题1：研究一个函数，图像表示更直观.那么得到函数图像的方法有哪些？

　　列表法、图像变换法、借助计算机软件画图.

　　GeoGebra是一个结合几何、代数与微积分的动态数学软件，它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的. GeoGebra是一个动态的几何软件，可以画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线，甚至是函数图像，还可以改变它们的属性.GeoGebra也可以直接输入方程和点坐标.所以，GeoGebra也有处理变数的能力（这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标），它也可以对函数作微分与积分，找出方程的根或计算函数的极大极小值.因此，GeoGebra同时具有处理代数与几何的功能，功能强大、使用简单、交互性强.

　　问题2：上节课我们已经系统研究了正弦函数的性质，如周期性、奇偶性、最值、零点、单调性、定义域、值域等，它们对作出正弦函数的图像有什么帮助呢？

　　【设计意图】

　　引导学生思考，根据周期性可知，只需画一个周期的图像，根据奇偶性，选择这一周期，只画一半的图像.在列表的过程中，最值、零点可对应关键点，单调性可对应升降趋势，让学生学会用性质辅助画图，培养学生数形结合的思想.

　　二、新知探究

　　作正弦函数y=sinx在的图像.

　　问题3：列表时怎样取值更合理？

　　优先选择最值点、零点、特殊角.

　　【学生活动】

　　在上合理取值，列表、描点、作图.

　　问题4：如何准确描出点的位置，使图像相对精确呢？

　　【教师活动】

　　PPT演示借助单位圆中的正弦线描点的过程，画出正弦函数y=sinx在的图像.

　　问题5：现在我们有了上的正弦函数图像，怎样得到y=sinx在R上的图像呢？

　　根据奇偶性，作出的图像，得到一个周期的图像.再根据周期性，得到正弦函数y=sinx在R上的图像，给出正弦曲线的概念.

　　【学生活动】

　　对照正弦函数的图像，验证上一节课探究出的正弦函数的性质，理解记忆.

　　【设计意图】

　　让学生亲自动手，体会利用性质作图的过程，引导学生一步一步突破难点、解决问题，提高学生逻辑推理的核心素养.

　　三、深化理解

　　问题6：观察正弦函数的图像，它是轴对称图形吗？如果是，请找出它所有的对称轴.

　　问题7：正弦函数y=sinx在对称轴处的函数值有什么特征？

　　问题8：观察正弦函数的图像，它是中心对称图形吗？如果是，请找出它所有的对称中心.

　　问题9：正弦函数y=sinx在对称中心处的函数值有什么特征？

　　【设计意图】

　　引导学生探究正弦函数的对称性，体会图像的形象直观.

　　问题10：画正弦函数y=sinx一个周期的图像时，一定要选择这一周期吗？选择可以吗？

　　可以先画上的正弦函数图像，再根据对称性，画的图像，从而得到正弦函数y=sinx在这一周期的图像.

　　问题11：哪些点在确定y=sinx，的图像形状时起关键作用？

　　【设计意图】

　　引导学生找到五个关键点：最值点和零点，从而引出“五点法作图”.

　　四、巩固提升

　　例（课本41页例4）

　　用五点法作函数y=sinx+1，的图像.

　　解：找关键的五个点，列表如下.

　　描点作图，如图所示.

　　想一想：这个函数的图像与y=sinx，的图像位置有什么关系？

　　【设计意图】

　　落实好“五点法”的步骤，即列表、描点、连线。其中列表是描点的重要依据，表格内容一定要齐全，强调关键的五点是指正弦曲线在一个周期内的五个关键点. 在得到函数图像后，引导学生反思函数y=sinx+1的函数值与y=sinx的函数值的关系，并依此来分析两个图像的位置关系，这体现了“数形结合”的思想，并为下一步继续学习正弦型函数图像做好铺垫.

　　【评价检测】用五点法作函数y=-sinx+1，的图像.

　　解：找关键的五个点，列表如下.

　　描点作图，如图所示.

　　五、归纳总结

　　1.正弦函数的图像（正弦曲线）；

　　2.正弦函数的对称性；

　　3.五点法作图.

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