高中数学《7.3.4 正切函数的性质与图像》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

几何画板做出来的正切函数图像

1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。

2、值域：实数集R。

3、奇偶性：奇函数。

4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，（k∈Z）上是增函数。

5、周期性：最小正周期π（可用T=π/|ω|来求）。

6、最值：无最大值与最小值。

7、零点：kπ,k∈Z。

8、对称性：无轴对称：无对称轴中心对称：关于点(kπ/2+π/2,0)对称（k∈Z）。

9、奇偶性：由tan（-x）=-tan（x），知正切函数是奇函数，它的图象关于原点呈中心对称。

10、图像（如图所示）实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(n/2)π （n∈Z） 都是它的对称中心。

视频教学：

练习：

1、下列各式不正确的是       （   ）

A．sin（α＋180°）=－sinα          B．cos（－α＋β）=－cos（α－β）

C． sin（－α－360°）=－sinα           D．cos（－α－β）=cos（α＋β）

2、若sin（π＋α）＋sin（－α）=－m,则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）等于（   ）

   A．－23m     B．－32m     C．23m       D．32m

3、的值等于（       ）

A．                 B．                  C．                 D．  

4、tan300°+的值是（    ）

A．1＋                     B．1－                     C．－1－                     D．－1＋

5、sin·cos·tan的值是（   ）      

A．－               B．               C．－               D．

6、设那么的值为              （    ）

       A．       B．－       C．       D．

7、若，则的取值集合为              （    ）

       A．       B．

   C．   D．

8、设A，B，C是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是                   （    ）

(A)cos(A+B)=cosC       (B)sin(A+B)=sinC   

(C)tan(A+B)=tanC        (D)sin=sin

9、已知角α终边上有一点P(3a,4a)（a≠0），则sin(450°-α)的值是                   （    ）

(A)－                 (B)－             (C)±              (D)±

10、在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是                      （    ）

(A)等边三角形              (B)直角三角形     

(C)钝角三角形          (D)锐角三角形

11、若cos100°= k,则tan ( -80°)的值为                                         （    ）

(A)－              (B)          (C)               (D)－

12、sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为                              （    ）

A．           B．             C．            D．

课件：

教案：

教学课时：1课时

　　教学目标：

　　1.学生类比利用正弦线研究正弦函数性质的做法，探究利用正切线研究正切函数的性质；

　　2.学生能够利用正切函数的性质画出正切函数的图像，并结合图像进一步验证性质；

　　3.学生在探究的过程中，体会类比、换元、数形结合的数学思想，培养学生数学抽象、逻辑推理的学科素养.

　　教学重点：

　　（1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.

　　（2）根据性质探究正切函数的图像.

　　教学难点：

　　画出正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线，在确定图像形状时所起的关键作用.

　　教学过程：

　　一、提出问题，解决问题：

　　问题1：还记得研究正弦函数和余弦函数的方法吗？

　　【设计意图】共同回忆之前研究正余函数的方法，由性质得图像，体会以数辅形，以形助数的妙处，感受华罗庚的话：数形结合百般好！

　　问题2：正切函数是如何定义的？

　　【设计意图】教师辅以几何画板的演示，帮助学生回忆定义，特别是自变量的取值范围.

　　问题3：请画出各个象限角的正切线.

　　【设计意图】正切线可以直观地表示正切值，随着角的变化，为探究正切函数的性质做铺垫.

　　问题4：请你利用正切函数的定义，确定正切函数的定义域.

　　由正切函数的定义知：正切函数定义域为：.

　　【设计意图】研究函数优先考虑定义域，培养学生严谨的数学品质.其次，正切函数的定义域与正弦函数和余弦函数不同，给学生做着重强调.再次，学生不难得出定义域关于原点对称，为后面研究奇偶性做准备.

　　问题5：观察正切线的变化特点和规律，你能得出正切函数y=tanx具有哪些性质吗？

　　①定义域和值域：由正切线可以看出，正切函数的值域为全体实数.

　　②奇偶性：定义域是关于原点对称的，由诱导公式：且，可知正切函数是奇函数（图像关于原点对称）.

　　③周期性：由诱导公式：,可知正切函数是周期函数，且周期为（每隔个单位的函数图像是一样的）.

　　④单调性：由单位圆中正切线的变化规律知：正切函数在区间上，y值随x的增大而增大，是增函数，且角度无限接近，正切线向上无限延伸；角度无限接近，正切线向下无限延伸（图像是呈上升趋势.且没有尽头）.

　　⑤ 零点：.

　　【设计意图】引导学生主动思考，类比可以用正弦线研究正弦函数y=tanx性质的做法，用正切线研究正切函数的性质.正切函数的最小正周期为，这一点与正弦函数、余弦函数也不同，特别需要引起学生的关注.学生能明确2是正切函数的周期，不一定能想到是正切函数的最小正周期，这一点可以将角多旋转几圈，多演示几次正切线的变化，由学生观察得出结论.

　　问题6：通过对正切函数性质的研究，你认为我们应该如何做出正切函数的图像？

　　【设计意图】引导学生明确，研究正切函数在一个周期内的图像，由周期性就可以得到整个定义域内的图像，再由奇偶性，只要研究的图像就可以.

　　问题7：如何做出正切函数在上的图像？

　　课本56页列表描点连线（图7-3-16）

　　【设计意图】①需要注意的在区间上的特殊角的正切值非常少，特别是当x从继续增大时，正切值的变化情况要结合单调性加以分析，特别是当x逐渐逼近的过程，正切值越来越大，逼近意味着正切值趋近于，这就让学生认识到直线x=是正切图像的一条渐近线.

　　②依据正切线能准确画出正切函数的图像，但不实用，在应用时一定要学会画简图（三点两线法——和两条渐近线）.

　　问题8：你能做出正切函数在定义域内的的图像吗？

　　【设计意图】再一次体会图像的特征，从图像的角度进一步验证函数的性质，培养学生利用函数图像研究函数性质的能力，加强“数形结合”的意识，并借此给出正切曲线的定义.

　　问题9：观察正切曲线思考：正切曲线是哪种对称图形，能试着说说？

　　正切函数y=tanx的图像是中心对称图形，其对称中心为

　　【设计意图】不难看出正切曲线是中心对称图形，学生容易发现的对称中心是，对于也是图像的对称中心是不容易发现的，何况这些点也不在图像上.因此，正切曲线的对称性要放慢节奏.关于对称性这个结论可以给出证明：令f（x）=tanx，则.

　　问题10：观察正切曲线，判断下列命题的真假.

　　命题1：正切函数y=tanx是增函数；

　　命题2：正切函数y=tanx在其定义域上是增函数；

　　命题3：正切函数y=tanx在它的每一个周期内都是增函数；

　　命题4：正切函数y=tanx在每一个区间上是增函数；

　　命题5：正切函数y=tanx在每一个区间上是增函数.

　　【设计意图】这是课本55页“想一想”的延伸，提出几个正切函数单调性的问题，让学生加以辨析，加深对性质的认识.

　　二、例题讲解，深化理解

　　例1（课本56页例1）求函数的定义域.

　　思考：我们可以采用什么样的方法求出正切型函数的定义域呢？

　　解：令

　　因为,所以

　　所以函数.

　　【设计意图】本题属于正切型函数求定义域，在解答的过程中，教师要让学生体会换元的思想.由于正切函数的定义域是难点之一，例1要注意书写准确.是对的，但写的定义域为是错误的，实际上，对于给定的常数k，自变量x只能取得一个周期的值，比如k=2时，这个集合只是，这与函数完全不同.

　　变式训练：求函数的定义域.

　　解：由题意知，

　　解得：.

　　所以函数.

　　【设计意图】tanx自身的限制往往被学生忽略，培养学生全面思考问题的能力.

　　例2（课本56页例2）求函数y=tan3x的周期.

　　思考：我们可以采用什么样的方法求出正切型函数的周期呢？

　　解：令u=3x，则y=tan3x可以化成y=tanu.

　　由y=tanu的周期为可知，对任意u,当它增加到且至少要增加到u+时，对应的函数值才重复出现，因为，

　　这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到时，y=tan3x的函数值才重复出现，

　　所以y=tan3x函数的周期为.

　　【设计意图】本题属于正切型函数求周期，在解答的过程中，教师要让学生体会换元的思想.这是训练周期性的进一步深化，要继续规范地引导学生探寻思路、写好过程.

　　引申思考：（课本56页“想一想”）函数（其中都是常数，且）具有哪些性质？从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等进行讨论.

　　【设计意图】引导学生归纳出形如函数（其中都是常数，且）的性质，特别是周期公式.

　　三、课堂练习，巩固所学

　　1.（课本P56页练习A第1题）

　　求函数y=tan3x的定义域.

　　参考答案：

　　2.（课本P56页练习A第3题）

　　求下列函数的周期.

　　（1）

　　参考答案：

　　【设计意图】巩固正切函数的性质，学以致用.

　　四、归纳总结：

　　1.正切函数的性质有哪些？

　　2.正切曲线的画法有几种？

　　3.本节课涉及哪些数学思想、方法和学科核心素养.

　　【设计意图】带领学生从知识、方法和经验入手让学生自己先总结，同学们互相补充总结，加深理解.

　　五、布置作业

　　课本P56页练习A组2、4；B组2、4

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