高中数学《8.1.3 向量数量积的坐标运算》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

1、平面向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量

作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量

由于 α 与数对(x,y) 是一一对应的，因此把 (x,y) 叫做向量 α 的坐标，记作 α =(x,y)，其中 x 叫作 α 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。

(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

2、平面向量的坐标运算：

3、两个向量的数量积：

已知两个非零向量

它们的夹角为 θ ，

4、向量的投影：

5、数量积的几何意义：

6、向量的模与平方的关系：

7、两个向量的数量积的坐标运算：

8、向量的夹角：

已知两个非零向量

视频教学：

练习：

例1、已知同向，

（1）求向量的坐标；

（2）若

例2、已知若向量垂直，则的值是多少？

例3、设，若，求实数的值

例4、已知当为何值时，垂直？

例5、求通过点，且平行于向量的直线方程

例6、在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量

（1）若；

（2）若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求

课件：

教案：

【预习目标】

掌握向量数量积的坐标表示公式的推导及应用

掌握向量夹角的坐标表示，并应用公式求向量的夹角

能用坐标表示平面向量垂直的条件，并解决相关问题

【使用说明】

1.按照导学案的提示自主研读教材，用红笔进行勾画，同时独立完成导学案。

2. 独立完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【学习目标】

考点	学习目标
向量数量积的坐标表示	掌握向量数量积的坐标表示公式的推导及应用
向量夹角的坐标表示	掌握向量夹角的坐标表示，并应用公式求向量的夹角
向量垂直的坐标表示	能用坐标表示平面向量垂直的条件，并解决相关问题

【自主学习】

问题1：向量的坐标表示与向量的数量积

在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的，记作。

而且，是单位正交基底，这就是说，，

因此，

类似的，有，即。

也就是说，在单位正交基底下的坐标为。

由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底，使得

因此，

从而，

特别的，，

在平面直角坐标系中，如果，则

，

从而，因此

新知新学

1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e₁，e₂之后，如果对于平面内的向量a，有a＝x e₁＋y e₂，则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y).

2．设a＝(x₁，y₂)，b＝(x₂，y₂)，则a·b＝x₁x₂＋y₁y₂，|a|²＝a·a＝x21＋y21，|a|＝²²₁，cos 〈a，b〉＝x1x2＋y1y2xoal(2²xoal(2²₂₎.

3．在平面直角坐标系中，如果A(x₁，y₂)，B(x₂，y₂)，则→＝(x₂－x₁，y₂－y₁)，|→|＝x2－x12＋y2－y12.

【对点快练】

1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于(　　)

A．1　B．－1 　　C．2　D．－2

2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cos θ＝(　　)

A．45　 B．13　　C．10)10　　 D．10)10

例1.已知，求。

【变式练习1】

已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．

(1)求a·(a－b)；

(2)求(a＋b)·(2a－b)；

(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．

【变式练习2】

已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．

例2.已知点求的余弦值。

【变式练习1】

已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，当a与b的夹角为锐角时，求λ的取值范围．

【变式练习2】

若向量a，b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于(　　)

A．45°　　　 B．60°　　　

C．120°　　 D．135°

问题2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

新知新学：

设a＝(x₁，y₂)，b＝(x₂，y₂)，则a⊥b⇔x₁x₂＋y₁y₁＝0.

【对点快练】

1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　)

A．垂直　　 B．不垂直也不平行

C．平行且同向　　 D．平行且反向

2．向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，下列结论正确的是(　　)

A．a∥b　　 B．a⊥b

C．a∥(a－b)　　 D．a⊥(a－b)

例3.已知点，求证：

【变式练习1】

已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|.

【变式练习2】

设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2< span="">π)，b＝as4alco1(－(1
(32)，且a与b不共线．

求证：向量a＋b与a－b垂直．

例4.如图所示，已知点将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标。

例5.如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，，连接求证：。

【变式练习1】

求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．

【变式练习2】

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．

【课堂小结】

【学习评价】

（3颗星合格，4颗星以上优秀）

内容	评价标准	星数	总数
学习过程	认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星
问题解决	解决一个问题获得一颗星
体系构建	构建体系获得1-2颗星