高中数学《8.2.1 两角和与差的余弦》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 几何方法

❝

几何方法的好处是与初中锐角三角函数的内容联系紧密，但是缺点只对锐角（甚至是两角和为锐角）的情况成立，而且不好推广．

❞

1.1. 矩形

如图1，

图1

由矩形的对边相等可得

1.2. 面积法

在  中， 于 ， ，，如图2，

图2

有

即 于是

❝

另外，也可以直接由张角定理得到同样的形式．

❞

1.3. 正弦定理

在上面的图2中，根据正弦定理，有即 注意 又有 于是有

1.4. 托勒密定理

在半径为  的圆的一个内接四边形  中，，如图3，

图3

根据托勒密定理，有

结合正弦定理可得 化简得

1.5. 弦图

我们可以用弦图来证明勾股定理．在原始的弦图中，四个小三角形是全等的．我们可以对它做一下变形，把四个全等的三角形改成两组全等的三角形，这样形成的弦图就不是两个正方形了，而是矩形和菱形．

1.5.1. 外弦图

图4

如图4，计算面积可得 化简即可得到两角和的正弦公式．

1.5.2. 内弦图

图5

如图5，计算面积可得

化简即可得到两角和的正弦公式．

2. 坐标方法

坐标方法的好处容易推广到一般的角．

2.1. 距离公式+余弦定理

如图6，在平面直角坐标系  中，角  和角  的终边分别与单位圆交于点 、，则 ，

图6

根据距离公式，根据余弦定理，

于是有

2.2. 距离公式+全等

如图7，我们把上图中的  旋转到 ，则 ，

图7

因此 ， 点的坐标为 ，所以

得到了上一种方法同样的式子．

❝

这种方法对比上一种方法的好处是避开了余弦定理．

❞

3. 向量方法

在平面直角坐标系  中，角  和角  的终边分别与单位圆交于点 、，则  等于  或 ，或者和其中一个相差 ．因此

我们看到，向量法的好处是不需要讨论  和  的情况，而且证明的过程非常简洁．

4. 复数方法

利用复数的指数形式和欧拉公式也可以很容易推出和角公式：

对比两边的实部和虚部就可以得到两角和的正弦和余弦公式．

视频教学：

练习：

1．计算cos 37°cos 23°－cos 53°sin 23°的值为(　　)

A．－12　　　　　　      B．12

C．3)2      D．－3)2

2．cos 255°的值是(　　)

A．6)－
(2)2      B．6)＋
(2)2

C． －6)－
(2)4      D．6)－
(2)4

3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为(　　)

A．12      B．－12

C．3)2      D．－3)2

4．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cosas4alco1((π6)－α)等于(　　)

A．6)6      B．6)6

C．－6)6      D．6)－36

5．若cos(α－β)＝5)5，cos 2α＝10)10，并且α、β均为锐角，且α<< span="">β，则α＋β的值为(　　)

A．π6      B．π4

C．3π4      D．5π6

6．计算：2)2(cos 75°－sin 75°)＝________.

7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)²＋(cos α＋cos β)²＝________.

8．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<< span="">α＋β<2π，< span="">π2<< span="">α－β<π，则cos 2α＝________.

9．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝5)5，求cos(α－β)的值．

10．已知sin α＝1213，cos β＝－35，α、β均为第二象限角，求cos(α－β)的值．

11．若cos(α＋β)＝35，sinas4alco1(β－(π4))＝513，α，β∈as4alco1(0，(π2))，则cosas4alco1(α＋(π4))的值为(　　)

A．2)2      B．32

C．5665      D．3665

课件：

教案：

【预习目标】

 1.学会建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，达到对公式的结构的理解

2.通过预习知道公式的来源及根据公式的结构特征学会运用已学的知道进行适当的整理。

3.在探究公式的过程中，学会分析问题、解决问题的能力，学会合作交流的能力。

【使用说明】

1. 按照导学案的提示自主研读教材，用红笔进行勾画，同时独立完成导学案。

2. 独立完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【学习目标】

1.两角差余弦公式的探索和简单应用

2探索过程的组织和引导

【自主学习】

阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：  

1.计算与的值,并比较大小

2.计算与的值,并比较大小

3.如何用任意角的正弦余弦值来表示；

4.如何求出和 的值

5.总结公式：

【思考与探究】

一、两角差的余弦公式应用

例1.利用差角余弦公式求的值

变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：

（1）；    （2）

二、两角差余弦公式综合运用

变式训练：

【课堂检测】

1. 的值为   （     ）

A.     B.     C.    D. 

2. 的值为    （     ）

A.    B.     C.       D .

3.已知，则的值等于（     ）

A.   B.  C.   D. 

4.计算：

(1)   变式：

(2)      (3) 

(4) 

5.(1)    (2) 

(3)                        (4) 

6.是第四象限角，求.      2.是第三象限角，求.

7.  已知＝＝，求

【体系构建】

画出本课题的思维导图

【学习评价】

（3颗星合格，4颗星以上优秀）

内容	评价标准	星数	总数
学习过程	认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星
问题解决	解决一个问题获得一颗星
体系构建	构建体系获得1-2颗星

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