高中数学《8.2.4 三角恒等变换的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

三角恒等变换知识点

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果。

化简三角函数式的基本要求是:

(1)能求出数值的要求出数值;

(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;

(3)分式中的分母尽量不含根式等。

1.求值中主要有三类求值问题:

(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.

(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:

(1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

(2)常用的拆角、拼角技巧。

(3)化繁为简:变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。

(4)消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异。

视频教学：

练习：

1.化简sin 2α-2sin²α+1的结果可以是 (　　)

A.2sin(2α+30°) B.2sin(2α-30°)

C.2sin(2α+60°) D.2sin(2α-60°)

2.由1+2cos(2x-60°)和化积为 (　　)

A.2cos(x-60°)cos x B.2sin(x-60°)sin x

C.4cos(x-60°)cos x D.4cos(x-60°)sin x

3.化简4sin(x+30°)cos x= (　　)

A.sin(2x+30°)+1 B.sin(2x+30°)-1

C.2sin(2x+30°)+1 D.2cos(2x+30°)+1

4.(2019·宁德高一检测)计算cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°的值为 (　　)

A.1 B.0 C. D.

5.函数y=cos+sin具有性质 (　　)

A.最大值为,图像关于对称

B.最大值为1,图像关于对称

C.最大值为,图像关于直线x=-对称

D.最大值为1,图像关于直线x=-对称

6.(多选题)下列关于函数f(x)=2cos(x+45°)cos(x-45°)性质的叙述正确的是 (　　)

A.函数为偶函数 B.函数为奇函数

C.函数的最大值为2 D.最小正周期为π

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=　　　　.

8.下列等式正确的是　　　　.(填所有正确等式的序号)

①2sin 50°cos 10°=sin 60°+sin 40°

②2cos 45°sin 15°=sin 60°―sin 30°

③2cos 50°cos 10°=cos 60°+cos 40°

④2sin 45°sin 15°=cos 60°―cos 30°

课件：

教案：

【预习目标】　

1.运用三角恒等变换公式进行简单的三角恒等变换，

2.理解半角公式的推导过程及简单应用

3.理解积化和差和和差化积的推导过程及其运用

【使用说明】

1.按照导学案的提示自主研读教材，用红笔进行勾画，同时独立完成导学案。

2. 独立完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【学习目标】

1.运用三角恒等变换公式进行简单的三角恒等变换，

2.理解半角公式的推导过程及简单应用

3.理解积化和差和和差化积的推导过程及其运用

【学习重点】

半角公式、积化和差和和差化积公式的推导及其应用

【学习难点】

半角公式、积化和差和和差化积公式的应用

【自主学习】

问题1：半角公式及其应用

事实上，由可得

，

因此，即（1）

类似的，因为

所以有，即

（2）

（1），（2）两个等式左边、右边分别相除，即可得

（3）

【思考探究】

例1.求证：

（1）；（2）

【对点快练】

1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cosα2的值为(　　)

A．6)3　　　 B．－6)3　　

C．±6)3　　 D．±3)3

　2．已知cos α＝45，α∈as4alco1((32)π，2π)，则sinα2等于(　　)

A．－10)10　　 B．10)10　　 C．3)10　　D．－35

例2. 已知sin θ＝45，且5π2<< span="">θ <3< span="">π，求cosθ2和tanθ2.

【变式练习】

本例中将条件改为“π<< span="">θ<< span="">32π，且sin θ＝－45”，如何求解？

问题2：积化和差和和差化积公式

因为

所以两式分别相加、相减之后整理可得

（4）

（5）

类似地，由

可得：

（6）

（7）

（4）（5）（6）（7）地左边是积地形式，右边是和或者差地形式，因此被称为积化和差公式。

根据（4）式可知，

因此可知的最大值为1.

一般地，如果，则，从而（4），（5）,（6），（7）可分别改写为：

这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式。

知识点2　积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式：

sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，

cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)].

(2)和差化积公式：

sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2，sin α－sin β＝2cosα＋β2sinα－β2，

cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2，cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.

【对点快练】

1．sin 15°cos 165°的值是(　　)

A．14　　 B．12　　 C．－14　　 D．－12

例2.求函数的周期与最大值。

【变式练习1】

求函数f(x)＝sin xcosas4alco1(x＋(π6))的值域．

【变式练习2】

函数f(x)＝sin 2xcosas4alco1(2x＋(π6))的单调递减区间是____________．

例3.求函数的周期和最大值。

【变式练习1】函数y＝cos x＋cosas4alco1(x－(π3))，x∈(0，π)的最小值为(　　)

A．－3　　 B．32　　　C．－32　　D．3

例4.已知，求证：

【随堂检测】

1.函数y＝tan(2x＋π6)的最小正周期是(　　)

A.π B.2π C.π2 D.π6

2.函数f(x)＝tan(x＋π4)的单调递增区间为(　　)

A.(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z B.(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

C.(kπ－3π4，kπ＋π4)，k∈Z D.(kπ－π4，kπ＋3π4)，k∈Z

3.在下列函数中同时满足：①在as4alco1(0，(π2))上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)

A.y＝tan x B.y＝cos x C.y＝tan x2 D.y＝－tan x

4.方程tanas4alco1(2x＋(π3))＝3在区间[0,2π)上的解的个数是(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

5.比较大小：tan 1________tan 4.

【课堂小结】

【学习评价】

（3颗星合格，4颗星以上优秀）

内容	评价标准	星数	总数
学习过程	认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星
问题解决	解决一个问题获得一颗星
体系构建	构建体系获得1-2颗星

第八章本章小结

班级：姓名：小组：小组评价：教师评价：

【知识结构图设计与交流】

1.依照本章知识之间的关系，自主完成知识结构思维导图

2.能根据所学知识处理书后部分习题

【课题作业】

我们这一章所学习的向量的数量积及其运算，两角和与差的余弦、正弦、正切公式，倍角公式，以及半角公式、积化和差和和差化积公式等。结合自己的心得，与其他同学合作，回忆本章内容和所学过的知识，整理出三角学发展历史与现状，写成小论文，然后与其他同学交流。

【课后反思】

【学习评价】

（3颗星合格，4颗星以上优秀）

内容	评价标准	星数	总数
学习过程	认真参与所有问题获得3颗星
问题解决	解决一个问题获得一颗星
体系构建	构建体系获得1-2颗星