高中数学《9.2 正弦定理与余弦定理的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

一、正、余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。

二、正、余弦定理中的常用角

1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)。

2、方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等。

3、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4、坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数。

三、解正、余弦应用题的一般步骤

1、阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力。

2、根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型。

3、根据题意选择正弦定理或余弦定理求解。

4、将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

四、解正、余弦定理应用题的常见情形

1、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。

2、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解。

视频教学：

练习：

一、选择题

1．在△ABC中，cos C2＝5)5，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　)

A．42 B.30

C.29 D．25

2．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则C等于(　　)

A.π4或3π4 B.3π4

C.π4 D.π6

3．已知△ABC中，sin A：sin B：sin C＝k：(k＋1)：2k，则k的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞) B．(－∞，0)

C.as4alco1(－(12)，0) D.as4alco1((12)，＋∞)

4．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为3)2，则这个三角形的面积为(　　)

A.154 B.3)4

C.3)4 D.3)4

5．(易错题)△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg2且B∈as4alco1(0，(π2))，则△ABC的形状是(　　)

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．直角三角形

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C等于(　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

二、填空题

7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b²＋c²－a²＝8，则△ABC的面积为________．

9．(探究题)若△ABC的面积为3)4(a²＋c²－b²)，且C为钝角，则B＝________；ca的取值范围是________．

课件：

教案：

【预习目标】

1.能将实际问题转化为解三角形问题．

2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．

3.能根据题意画出几何图形．

【使用说明】

1. 按照导学案的提示自主研读教材，用红笔进行勾画，同时独立完成导学案；

2. 独立完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【学习目标】

1. 进一步巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程。

2.了解常用的测量相关术语，如仰角、俯角、方位角、视角等有关名词的具体定义。

3.能运用正弦定理或余弦定理解决有关距离、高度、角度等实际问题.

【自主学习】

(1)仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．

(2)方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向．

(3)．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α．

方位角的取值范围：[0°，360°) ．

【情境导学】

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形,例如如图9-2-1所示，故宫角楼的高度因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量。

假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出脚楼的高度吗？如果能写出你的方案，并给出有关的计算方法，如果不能说明理由。

如图中角楼的高度问题，可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？

如图9-2-2所示，设线段AB表示不方便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量，用测量角度的仪器可以测量出的大小，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量.

如图9-2-3所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量，用测量角度的仪器测出 .

然后，利用以及m即可求出AB的长，

首先，在△BCD中，因为，

所以由正弦定理可得

因此；

同理，从△ACD可得A；

最后,在△ABC 中，根据AC,BC，利用余弦定理就可以得出AB的长。

【思考探究】

例1.如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点.已知A，B，C，D,4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB=，∠BCD=30°，∠CDA=，

∠BDA=15°，CD=100m，求AB的长.

【变式练习】

在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30°的300米的地方,在A点测得山顶C的仰角是30°，求山高．

例2．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.

【变式练习】

如图所示，在河岸上可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40 m的P，Q两点，测得∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°，∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之间的距离.

【结论】

1．测量距离问题包括两种情况

(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．

(2)测量两个不可到达点之间的距离．

第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．

图1　　　　　　图2

2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

【体系构建】

画出本课题的思维导图

【学习评价】

（3颗星合格，4颗星以上优秀）

内容	评价标准	星数	总数
学习过程	认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星
问题解决	解决一个问题获得一颗星
体系构建	构建体系获得1-2颗星

9.2正弦定理与余弦定理的应用（2）

班级：姓名：小组：小组评价：教师评价：

【学习目标】

1．利用正、余弦定理的边角互化功能对特殊三角形的形状进行判断。

2．利用正、余弦定理利用三角形或四边形中已知的边角关系，对一些长度问题进行求解。

3.利用正、余弦定理的边角互化功能，以及已知的边角关系，对一些角度问题进行求解

4利用正、余弦定理的边角互化功能以及面积公式，对三角形面积、周长相关问题进行求解.

【自主学习】

1. 复习回顾：

1.什么是解三角形，我们学了哪些相关的定理？

正弦定理：

余弦定理：

2.关于解斜三角形，你掌握了哪几种类型？

（1）

（2）

（3）

（4）

【思考探究】

题型1：正、余弦定理在三角形形状判断中的应用

例1.（1）在中，已知，试判断该三角形的形状．

（2）在△ABC中，若sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，试判断△ABC的形状.

【变式练习】

1.在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形.

2.在△ABC中，若a²tanB=b²tanA，试判断△ABC的形状.

题型2：正、余弦定理在三角形、四边形长度求解中的应用

例2.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.

例3. 如图，在四边形中，已知,，, , ，

求的长.

【变式练习】

1.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.

题型3：正、余弦定理在三角形角度问题中的应用

例4.用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．

【变式练习】

中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值.

例5．在锐角中，则的值等于，的取值范围为 .

【变式练习】

1.在△ABC中，已知sin²B－sin²C－sin²A＝3sinAsinC，求B的度数.

题型4：正、余弦定理在三角形面积、周长相关问题中的应用

例6. 三角形ABC中有两个角分别为30⁰和45⁰，，求⊿ABC的面积。

【变式练习】

1.半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积.

例7.如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.

【变式练习】

1.已知三角形的一个角为60°，面积为103cm²，周长为20 cm，求此三角形的各边长.

【学习评价】

（3颗星合格，4颗星以上优秀）

内容	评价标准	星数	总数
学习过程	认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星
问题解决	解决一个问题获得一颗星
体系构建	构建体系获得1-2颗星