高中数学《11.1.6 祖暅原理与几何体的积》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

语文	数学	英语	物理	化学
生物	史地	政治	道德与法治
美术	音乐	科学	全部课程 ↓

知识点：

什么是祖暅原理？原话是“幂势既同，则积不容异”。

“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。（来自百度）

用这个原理可以解释很多立体图形的体积公式。如下图，球的半径为R，再做一个底面半径为R，高为R的圆柱。在圆柱之中倒立接一个，底面半径为R，高为R的圆锥。

（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积

将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形

圆柱的侧面积

2、圆锥的侧面展开图——扇形

圆锥的侧面积

3、圆台的侧面展开图——扇环

圆台的侧面积

（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形

直棱柱的侧面积

2、锥的侧面展开图——多个共点三角形

正棱锥的侧面积

3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形

正棱台的侧面积

说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式

①即锥体的侧面积公式；

②c\\\\\\'＝c时即柱体的侧面积公式；

（三）棱柱和圆柱的体积

斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长

（四）棱锥和圆锥的体积

（五）棱台和圆台的体积

说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：

①时即为锥体的体积公式；

②S_上＝S_下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式

视频教学：

练习：

一、选择题

1．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2：3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)

A.12 B．2

C.13 D．3

2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)

A．5π B．6π

C．20π D．10π

3．如图，ABC A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积是(　　)

A.13 B.12

C.23 D.34

4．(易错题)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

A.2)π3 B.2)π3

C．22π D．42π

5．(探究题)如图所示，三棱台ABC A₁B₁C₁中，A₁B₁：AB＝1：2，则三棱锥B A₁B₁C₁与三棱锥A₁ ABC的体积比为(　　)

A．1：2 B．1：3

C．1：2 D．1：4

6．如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(　　)

A．4 cm B．3 cm

C．2 cm D．1 cm

二、填空题

7．如图，正方体ABCD A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为线段AA₁，B₁C上的点，则三棱锥D₁ EDF的体积为________．

8．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________．

9．如图，在棱长为a的正方体ABCD A₁B₁C₁D₁中，截去一个三棱锥D₁ ADC，则剩余部分的体积为________，点D到平面ACD₁的距离为________．

课件：

教案：

年级	高一	课题	11.1.6 祖暅原理与几何体的体积	设计者	高一数学组
学习目标	1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式． 2.能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积．
学习重点	了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式，并能够运用体积公式求简单几何体的体积
自主学习	知识点1：祖暅原理 1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．知识点2：柱体的体积 1.等底面积、等高的两个柱体，体积相等. 2.体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V_柱体＝知识点3：棱锥和圆锥的体积 1.等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 2.体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则椎体的体积计算公式为V_椎体＝知识点4：台体的体积台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S₁、S₂，高为h，则台体的体积计算公式为V_台体＝ 5：球的体积如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V_球＝ 6：组合体 1．概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体．常见的组合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的． 2．求组合体的体积(或表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可．
组内合作课堂展示	例1.如图所示，长方体中，求棱锥的体积和长方体的体积之比. 例2.已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为，求这个棱台的体积。练习：已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为_______ 例5.如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高位2cm，现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度位（1）估计有多少个这样的零件？（2）如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1）？
反馈达标	1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等． ( ) (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( ) (3)由V_锥体＝31S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． ( ) 2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( ) A．2 B． C D． 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2π C．4π D．8π 4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________. 5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积． 6.如图所给图形及数据(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．