高中数学《1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若，，则，

，，

，

，

。

②若，，则。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（4）模长公式：若，，

则，

（5）夹角公式：。

（6）两点间的距离公式：若，，

则，

或

视频教学：

练习：

课件：

教案：

学习目标　1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．

导语

我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法….”

吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．

一、空间直角坐标系

知识梳理

1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

注意点：

(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.

(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.

(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．

二、求空间点的坐标

知识梳理

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量→，且点A的位置由向量→唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使→＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量→对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

问题　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？

提示　

点的位置	x轴上	y轴上	z轴上
坐标的形式	(x,0,0)	(0，y,0)	(0,0，z)
点的位置	Oxy平面内	Oyz平面内	Ozx平面内
坐标的形式	(x，y,0)	(0，y，z)	(x,0，z)

例1　(1)画一个正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则

①顶点A，D₁的坐标分别为________________；

②棱C₁C中点的坐标为________；

③正方形AA₁B₁B对角线的交点的坐标为________．

答案　①(0,0,0)，(0,1,1)　②as4alco1(1，1，(12))　③as4alco1((112)

(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．

解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，

∴正四棱锥的高为223.

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,223)．

答案不唯一．

反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．

②充分利用几何图形的对称性．

(2)求某点M的坐标的方法

作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．

跟踪训练1　设正四棱锥S－P₁P₂P₃P₄的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标．

解　如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P₁P₂⊥Oy轴，P₁P₄⊥Ox轴，SO在Oz轴上．

∵P₁P₂＝2，且P₁，P₂，P₃，P₄均在Oxy平面上，

∴P₁(1,1,0)，P₂(－1,1,0)．

在Oxy平面内，P₃与P₁关于原点O对称，P₄与P₂关于原点O对称，

∴P₃(－1，－1,0)，P₄(1，－1,0)．

又SP₁＝2，OP₁＝2，

∴在Rt△SOP₁中，SO＝2，

∴S(0,0，2)．

(答案不唯一，也可选择其他的点建系)

三、空间点的对称问题

例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．

(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；

(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．

解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P₁(－2，－1，－4)．

(2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P₂(－2,1，－4)．

(3)设对称点为P₃(x，y，z)，则点M为线段PP₃的中点，

由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，

所以P₃的坐标为(6，－3，－12)．

反思感悟　空间点对称问题的解题策略

(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

跟踪训练2　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P₁，点P₁关于坐标平面Oyz的对称点为P₂，点P₂关于z轴的对称点为P₃，则点P₃的坐标为__________．

答案　(2，－3,1)

解析　点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P₁的坐标为(2,3,1)，点P₁关于坐标平面Oyz的对称点P₂的坐标为(－2,3,1)，点P₂关于z轴的对称点P₃的坐标是(2，－3,1)．

四、空间向量的坐标

知识梳理

向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作→＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．

例3　已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁＝4，M为BC₁的中点，N为A₁B₁的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量→，→，→的坐标．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，设14→＝i，

14→＝j，14→＝k，

→＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，

→＝→＋→

＝0i＋4j＋4k

＝(0,4,4)，

∴→＝→＋→

＝→＋→＋→

＝－4i＋4j＋4k

＝(－4,4,4)．

反思感悟　向量坐标的求法

(1)点A的坐标和向量→的坐标形式完全相同；

(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．

跟踪训练3　如图所示，以长方体ABCD－A₁B₁C₁D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若→的坐标为(4,3,2)，则C₁的坐标是(　　)

A．(0,3,2)         B．(0,4,2)

C．(4,0,2)         D．(2,3,4)

答案　A

解析　∵→的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，

∴B₁的坐标为(4,3,2)，

∴BC＝4，DC＝3，CC₁＝2，

∴C₁的坐标为(0,3,2)．

1．知识清单：

(1)空间直角坐标系的概念．

(2)空间点的坐标．

(3)空间向量的坐标．

2．方法归纳：数形结合、类比联想．

3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．

1．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面Oxy对称的点的坐标是(　　)

A．(－1,3，－5)         B．(1,3,5)

C．(1，－3,5)         D．(－1，－3,5)

答案　B

2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是(　　)

A．1         B．2

C．3         D.14

答案　A

解析　点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值．

3．点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P₁的坐标为______，点P关于z轴的对称点P₂的坐标为________．

答案　(1,1，－1)　(－1，－1,1)

解析　点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P₁的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P₂的坐标为(－1，－1,1)．

4．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A₁(4,0,3)，则向量→的坐标为________．

答案　 (－4,2,3)

解析　→＝→＋→＝→＋→＋→＝－4i＋2j＋3k＝(－4,2,3)．

课时对点练

1．(多选)下列命题中正确的是 (　　)

A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)

B．在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)

C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)

D．在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a,0，c)

答案　BCD

解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故A错误，B，C，D正确．

2．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为(　　)

A．(－1，－2，－4)         B．(－1，－2,4)

C．(1,2，－4)         D．(1,2,4)

答案　A

解析　关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)．

3．如图，在长方体OABC－O₁A₁B₁C₁中，OA＝3，OC＝5，OO₁＝4，点P是B₁C₁的中点，则点P的坐标为(　　)

A．(3,5,4)         B.as4alco1((32)，3，4)

C.as4alco1((32)，5，4)         D.as4alco1(5，(32)，2)

答案　C

解析　由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P₁，P₂，P₃，它们在坐标轴上的坐标分别是32，5,4，故点P的坐标是as4alco1((32)，5，4).

4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)(　　)

A．关于Oxy平面对称         B．关于Ozx平面对称

C．关于Oyz平面对称         D．关于x轴对称

答案　C

解析　空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于Oyz平面对称．

5．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　)

A．(0，2，0)         B．(0，2，3)

C．(1,0，3)         D．(1，2，0)

答案　B

解析　由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.

6．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，B₁E＝14A₁B₁，则→等于(　　)

A.as4alco1(0，(14)，－1)         B.as4alco1(－(14)，0，1)

C.as4alco1(0，－(14)，1)         D.as4alco1((14)，0，－1)

答案　C

解析　→＝→＋—→＝k－14j＝as4alco1(0，－(14)，1).

7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．

答案　(2，－4,5)，(1,2，－3)

解析　由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3)．

8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．

答案　as4alco1((abc3)

解析　由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)．

由重心坐标公式得点G的坐标为as4alco1((abc3).

9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．

解　正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为Eas4alco1(0，(a2)，a)，Fas4alco1((a2)，0，a)，Gas4alco1(a，0，(a2))，Has4alco1(a，(a2)，0)，Ias4alco1((a2)，a，0)，Jas4alco1(0，a，(a2)).

10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，o(OM→)→)OP→))为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．

解　由题意知，点B的坐标为(1,1,0)．

由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，

由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，

由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0)．

又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，

所以由中点坐标公式可得Eas4alco1((112)，1，Fas4alco1((112)，1.

11．在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为(　　)

A.5  B．3  C.10  D.13

答案　A

解析　空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为12＋22＝5.

12．(多选)如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝5，AD＝4，AA₁＝3，以直线DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　)

A．点B₁的坐标为(4,5,3)

B．点C₁关于点B对称的点为(5,8，－3)

C．点A关于直线BD₁对称的点为(0,5,3)

D．点C关于平面ABB₁A₁对称的点为(8,5,0)

答案　ACD

解析　根据题意知，点B₁的坐标为(4,5,3)，选项A正确；

B的坐标为(4,5,0)，C₁的坐标为(0,5,3)，

故点C₁关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；

在长方体中AD₁＝BC₁＝21)＝5＝AB，

所以四边形ABC₁D₁为正方形，AC₁与BD₁垂直且平分，

即点A关于直线BD₁对称的点为C₁(0,5,3)，选项C正确；

点C关于平面ABB₁A₁对称的点为(8,5,0)，选项D正确．

13．已知在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，向量a在基底{→，→，→}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{→，→，→}下的坐标为(　　)

A．(2,1，－3)         B．(－1,2，－3)

C．(1，－8,9)         D．(－1,8，－9)

答案　B

解析　∵a＝2→＋→－3→＝2→－→－3→＝－→＋2→－3→，

∴向量a在基底{→，→，→}下的坐标为(－1,2，－3)．

14.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量→的坐标为________．

答案　as4alco1((112)

解析　→＝→＋→＝－12(→＋→)＋12(→＋→)＝12→－12→＝12i－12k＝as4alco1((112).

15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．

答案　(1,1,1)　as4alco1((312)，－1

解析　由题意知p＝2a＋b－c，

则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．

设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则

p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，

又∵p＝2a＋b－c，

∴x＋y＝2，x－y＝1，z＝－1，

解得x＝32，y＝12，z＝－1，

∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为as4alco1((312)，－1.

16.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则→的坐标为________，→的坐标为________．

答案　as4alco1(0，0，－(
(6)3))　as4alco1(0，－(
(3
(63)

解析　由题意可知，BG＝23BE＝23×3)2＝3)3，

所以AG＝AB2－BG2＝6)3，

所以→＝－6)3k＝as4alco1(0，0，－(
(6)3))，

→＝→－→＝－3)3j－6)3k＝as4alco1(0，－(
(3
(63).

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