高中数学《1.2.3 直线与平面的夹角》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

直线与平面的夹角

视频教学：

练习：

课件：

教案：

【学习目标】

1.理解直线与平面夹角的概念及夹角的范围；

2.了解直线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面的夹角之间的关系；

3.会用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面的夹角．

【学习重点】直线与平面夹角的概念与计算．

【学习难点】直线与平面夹角的计算．

【自主预习】

（一）旧知回顾

1.两平面的法向量的夹角与两个平面的夹角有怎样的关系？

（1）设平面和的法向量分别为和.

                                                            ；

                                                            .

（2）设平面和的夹角为，平面和的法向量分别为和

则=                   .

2. 二面角与两平面夹角有什么关系？

（二）自主探究

1.作出线段AB在平面内的投影: 

2.                                                                 

叫做该直线与平面的夹角．

(1)如果直线在平面内或与平面平行，直线与平面的夹角为         ；

(2)如果直线与平面垂直，直线与平面的夹角为              ；

(3)如果直线与平面斜交,则直线与平面的夹角的范围是            .

3. (1)作出直线与平面α的夹角：

(2)直线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面的夹角之间有什么关系？

(3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α的夹角为．

不妨设，则＝       ；或＝         ．

【合作探究】

探究活动一

例1. 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁, F, E 分别为A₁B₁，C₁D₁的中点．求直线AC与平面BCEF的夹角θ的正弦值.

变式训练：如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁.

求直线A C₁与平面BCD₁ A₁的夹角θ的正弦值.

例2.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是BC₁的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的正弦值．

【达标测评】

已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为,求直线与平面夹角的余弦值.

【今日作业】课本P₄₇习题 3题

3.

（补充）如图，已知点P在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，∠PDA=60°．（1）求DP与CC₁所成角的大小；（2）求DP与平面AA₁D₁D所成角的大小．

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