高中数学《2.6.2 双曲线的几何性质》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1.双曲线的基本性质

2.等轴双曲线
　　实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=λ(λ≠0)，离心率为，渐近线为y=±x.
3.双曲线中的相关概念
　(1)双曲线的对称轴与双曲线的交点叫双曲线的顶点.
　(2)线段AA₁叫实轴，线段BB叫虚轴，线段F₁F₂叫焦距.
　(3)焦距与长轴的比叫双曲线的离心率，记作e，即.

视频教学：

练习：

【基础达标】

1. 【2015高考四川，文7】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝(　　)
　A.　　B.　　C.6　　D.
【答案】D
【解析】由题意，a＝1，，故c＝2，渐近线方程为将x＝2代入渐近线方程，得故，选D

2. 【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)²+y²=3相切,则双曲线的方程为（　　）
　A.　　B.
　C.　　D.
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)²+y²=3相切得,由,解得a=1,故选D.

3. 【2015高考湖南，文6】若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为(　　)
　A.　　B.　　C.　　D.
【答案】D
【解析】
　　因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），∴3b=4a,∴9(c²-a²)=16a²,∴.

4. 【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）
　A.　　B.
　C.　　D.
【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为y=±2x，故选A.
5. 【2015高考上海，文12】已知双曲线C₁、C₂的顶点重合，C₁的方程为，若C₂的一条渐近线的斜率是C₁的一条渐近线的斜率的2倍，则C₂的方程为______.
【答案】
【解析】
　　因为C₁的方程为，所以C₁的一条渐近线的斜率，所以C₂的一条渐近线的斜率k₂=1，因为双曲线C₁、C₂的顶点重合，即焦点都在x轴上，设C₂的方程为=1(a＞0,b＞0)， 所以a=b=2，所以C₂的方程为.

【能力提升】

1.【2015高考广东，7】 已知双曲线C：的离心率，且其右焦点F₂(5,0)，则双曲线C的方程为（　　）
　A．　　B．
　C.　　D.．
【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为F₂(5,0)且离心率为，所以c=5，a=4，b²=c²-c²=9所以所求双曲线方程为，故选B．

2.【2015高考重庆，文9】设双曲线(a＞0,b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁,A₂,过F做A₁A₂的垂线与双曲线交于B，C两点，若A₁B⊥A₂C,则双曲线的渐近线的斜率为（　　）
　A．　　B.　　C.±1　　D.
【答案】C
【解析】由已知得右焦点F(c,0)(其中c²=a²+b²,c＞0)，A₁,(-a,0),A₂(a,0)，从而又因为A₁B⊥A₂C，所以，
即，
化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.

3. 【2015高考天津，理6】已知双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为(　　)
　A.　　B.
　C.　　D.　
【答案】D
【解析】
　　双曲线(a＞0,b＞0)的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得a=2,，所以双曲线方程为，故选D.

4. 【2015高考新课标1，理5】已知M（x₀,y₀）是双曲线C:上的一点，F₁,F₂是C上的两个焦点，若，则y₀的取值范围是(　　)
　A.　　 B.　　
　C.　　D.　　
【答案】A
【解析】由题知
所以解得

5. 【2015高考山东，文15】过双曲线(a＞0,b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为______.
【答案】
【解析】
　　双曲线的右焦点为(c,0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点P的横坐标为，由，得，解之得（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.

【终极突破】

1. 【2015高考重庆，理10】设双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点为(1，0)，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　）
　A．(-1.0)∪(0,1)　　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
　C. 　　D.
【答案】A
【解析】
　　由题意A(a,0),由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x,0)，由BD⊥AC得，解得，
所以，
所以，
因此渐近线的斜率取值范围是(-1,0)∪(0,1)，选A.

2. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）
　A．　　B.2　　C．　　D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为(a＞,b＞0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120º，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BM|=a，故点M的坐标为，代入双曲线方程得a²=b²=a²-c²，即c²=2a²，所以，故选D．

3. 【2015高考湖北，文9】将离心率为e₁的双曲线C₁的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加 个单位长度，得到离心率为e₂的双曲线C₂，则（　　）
　A．对任意的a,b，e₁＞e₂
　B．当a＞b时，e₁＞e₂；当a＜b时e₁＜e₂ ，
　C．对任意的a,b，e₁＜e₂
　D．当a＞b时，e₁＜e₂；当a＜b时e₁＞e₂，
【答案】D.
【解析】
　　不妨设双曲线C₁的焦点在x轴上，即其方程为：，则双曲线C₂的方程为：
，所以，
，当a＞b时，
，所以，
所以，所以e₂＜e₁；当a＜b时，
，所以，
所以，所以e₂＜e₁；故应选D.

4. 【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C₂:x²=2py(p＞0)交于点O,A,B，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为______.
【答案】3/2
【解析】
　　设OA所在的直线方程为,则OB所在的直线方程为,
解方程组得：，
所以点A的坐标为,抛物线的焦点F的坐标为:.因为F是△ABC的垂心，所以k_OB•k_AF=-1,
所以，.
所以，.

课件：

教案：

项目	内容
课题	2.3.2双曲线的简单几何性质（2）	修改与创新
教学 目标	1.知识与技能       理解直线与双曲线的位置关系，并掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；掌握弦长公式的求法；会用坐标法解决简单的直线与双曲线关系中有关“中点弦”的问题的处理技巧——“设点代点、设而不求”. 2.过程与方法           通过数形两个方面对直线和双曲线的位置关系进行讨论并推导，把握类比以及数形结合的思想方法，增强学生分析问题和解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观       通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,发展学生对数形的认识，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
教学重、 难点	【教学重点】直线与双曲线的位置关系 【教学难点】利用代数表达形式表达直线与双曲线的位置关系
教学 准备	多媒体课件
教学过程	一.情景设置     问题1：从图形上看，直线与圆和有几种位置关系？             相交，相切和相离. 问题2：从图形上看，直线与椭圆有几种位置关系？             相交，相切和相离 问题3：直线与双曲线有几种位置关系？也具有类似圆或者椭圆的位置关系吗？             这是我们今天要学习的内容。 二. 探究新知 活动一: 从“形”上感受直线与双曲线位置关系       学生通过画线，感受直线与双曲线的位置关系. （一）相交  有两个公共点(在同一支)     有两个公共点(分别在两支)  有一个公共点（直线与渐近线平行） （二）相切                                   （三）相离    只有一个公共点                                没有公共点 总结：位置关系与公共点的个数： 相交： 相切：一个公共点 相离：无公共点 活动二：从“数”上探究直线与双曲线位置关系       直线 ： ，      双曲线： 两式联立消去y得： 1. 若时：直线和双曲线的渐近线平行或者重合       重合：无交点                  平行：有一个交点 2. 若时：       Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）             Δ=0直线与双曲线相切             Δ<0< span="">直线与双曲线相离 总结：直线与双曲线的位置关系: ①相交两点：△＞0                ②相切一点: △=0               ③相     离:  △＜0                     同侧：        异侧：   相交一点: 直线与渐近线平行 注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 练习：求下列直线与双曲线的交点坐标. 三.典型例题 例1. 如果直线 与双曲线没有公共点，求k的取值范围. 变式1：如果直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围. 变式2：如果直线与双曲线的右支（左支）有两个公共点，求k的取值范围. 变式3：如果直线与双曲线的两支都有公共点，求k的取值范围. 变式4：如果直线与双曲线的只有一个公共点，求k的取值范围. 例题2：直线与双曲线相交于A、B两点，当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。
板书设计	2.3.1   双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义 2. 双曲线的标准方程                         例题 3. 直线与双曲线的位置关系：       ①相交两点：有两个公共点，△＞0                                              同侧：                   异侧：                           相交一点: 直线与渐近线平行             ②相切一点: 有一个公共点， △=0                           ③相     离: 没有公共点， △＜0  注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程
教学反思	1.为让学生类比直线与椭圆的关系研究直线与双曲线的关系，通过动手实践，让学生分析直线与双曲线的关系是什么？  2.通过系列例题，在老师的指导下，让学生自己推导出直线与双曲线的关系，以提高学生的运算能力。

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