高中数学《2.7.1 抛物线的标准方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

要点一、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

要点诠释:

(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值

(2) 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上，若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线.[来源:学科网]

(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.

要点二、抛物线的标准方程

标准方程的推导

如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.

设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.

设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合

将上式两边平方并化简，得. ①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是.

抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式[来源:Zxxk.Com]

，，，。

要点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是。

一般情况归纳：

方程[来源:Z,xx,k.Com][来源:学_科_网]	图象的开口方向	焦点	准线
	时开口向右[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学科网ZXXK][来源:学科网]		[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网]
时开口向左
	时开口向上
时开口向下

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。

视频教学：

练习：

1.已知抛物线的标准方程为y²=ax,则其焦点坐标为 (　　)

A. B.

C. D.

2.抛物线y=x²的准线方程是 (　　)

A.y=-1　 B.y=-2　 C.x=-1　 D.x=-2

3.点M(5,3)到抛物线y=ax²准线的距离为6,那么抛物线的方程是　 (　　)

A.y=12x²　 B.y=12x²或y=-36x²

C.y=-36x²　 D.y=x²或y=-x²

4.抛物线y=2x²的焦点到准线的距离为 (　　)

A. B. C. D.4

课件：

教案：

课程基本信息
课题	2.7.1抛物线的标准方程
教科书	书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版出版社：人民教育出版社出版日期：2020 年 8 月
教学目标
教学目标：类比椭圆、双曲线，理解抛物线的概念；会推导和应用抛物线的标准方程教学重点：抛物线的概念与标准方程教学难点：抛物线的标准方程的推导
教学过程
时间	教学环节	主要师生活动
2分	情境与问题	抛物线这个几何对象，我们并不陌生. 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图像是一条抛物线；等等. 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.
5分	抛物线的定义	一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线.
10分	抛物线的标准方程	《尝试与发现》怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程. 《探究》为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设（即 F 到准线 l 的距离为），因为直线 l 不过点 F，所以 >0. 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 此时，抛物线的焦点为，准线为 . 设 M(x，y) 是抛物线上一点，则 M 到 F的距离为， M 到 F 直线 l 的距离为，所以上式两边平方，整理可得 . ① 方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图所示. 《尝试与发现》如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所示，其他不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能够通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为，准线为；只要将①中的 x 变为－x 即可得到抛物线的方程为 . ② 通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 . 类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为，准线为；只要将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线的方程为 . ③ 通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程 . 如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为，准线为；只要将①中的 x 变为－ y 且 y 变为－ x即可得到抛物线的方程为 . ④通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程. 由上可以看到，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离 p 以及焦点的位置确定的. 如不特别声明，以后总认为抛物线有相应的 p （ p >0）值，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下： ①； ②； ③； ④.
6分	抛物线的定义与标准方程的应用	例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：（1）抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正半轴上；解（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且 3，因此所求标准方程为 . 准线方程为 . （2）抛物线的焦点是 . 解（2）因为抛物线的焦点是，所以抛物线的标准方程具有的形式，而且 3，因此 = 6，从而所求抛物线的标准方程是. 准线方程为. 例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到的距离比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线. 解设 M 坐标是，则根据题意可知，化简得 . 当时，方程可变为，这表示的是端点在原点、方向为轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示；当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线，如图所示.
1分	课堂小结	1. 抛物线的定义：抛物线的焦点；抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程： ①； ②； ③； ④； ①②③④这四种形式之一.