高中数学《2.7.2 抛物线的几何性质》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．抛物线的几何性质


２.性质补充：
　（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
　（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线；
　（3）p的几何意义：焦点到准线的距离.

视频教学：

练习：

【基础达标】

１．探照灯反射镜的轴截面是抛物线y2＝2px(x>0)的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60 cm,灯深40cm,则抛物线的焦点坐标是(　　)
　　　　
　　　　
【答案】C
【解析】
　　依题意,点(40,30)位于抛物线y²＝2px上,于是有30²＝2p×40,,焦点坐标是,故应选C.

２．(2014•高考课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y²＝3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|＝(　　)
　　　　B．6
　C．12　　　
【答案】Ｃ
【解析】
　　

３．已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|＝(　　)
　　　　B．1∶2
　　　　D．1∶3
【答案】C.
【解析】
　　直线,与x²＝4y联立,得,直线,与y＝－1联立,得N(4,－1),由三角形相似知

4．对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是（　　）
　A.（－∞,0）
　B.（－∞,2]
　C.［0,2］
　D.（0,2）
【答案】B
【解析】
　　设点Q的坐标为,由 |PQ|≥|a|,得
　　整理,得：
　　即恒成立.而的最小值为2.
　　∴a≤2.故选B.

【能力提升】

1.(2015•河南郑州模拟)已知抛物线y²＝2px(p＞0),过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为－2,则该抛物线的准线方程为(　　)
　A．x＝1　　　B．x＝2
　C．x＝－1　　D．x＝－2
【答案】C.
【解析】
　　由题意可设直线方程为
　　设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
　　联立方程
　　整理得y²＋2py－p²＝0,
　　∴y₁＋y₂＝－2p.
　　∵线段AB的中点的纵坐标为－2,
　　∴p＝2.
　　∴抛物线的准线方程为x＝－1.

２．已知M是上一点,F为抛物线的焦点,A在C：(x－1)²＋(y－4)²＝1上,则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)
　A．2　　　　B．4
　C．8　　　　D．10
【答案】B
【解析】
　　由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l：y＝－1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|＝|MH|,
　　∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|,当C,M,H,A四点共线时,|MH|＋|MA|有最小值,|MA|＝|MC|－1,
　　于是,|MA|＋|MF|的最小值为4－(－1)－1＝4.

３．（2015陕西理14）若抛物线y²=2px(p＞0)的准线经过双曲线x²-y²=1的一个焦点,则p=_______.
【答案】
　　
【解析】
　　x²-y²=1的焦点坐标为,抛物线y²=2px(p＞0)准线方程为

４．(2015•山西省忻州市联考)已知P为抛物线y²＝4x上一个动点,Q为圆x²＋(y－4)²＝1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_______．
【答案】
　　
【解析】
　　由题意知,圆x²＋(y－4)²＝1的圆心为C(0,4),半径为1,抛物线的焦点为F(1,0),根据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝
【终极突破】

1. (2015•衡水中学调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C₁：y²＝2px(p＞0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l,则点A的位置(　　)
　A．在C₁开口内　　　B．在C₁上
　C．在C₁开口外　　　D．与p值有关
【答案】B
【解析】
　　设,由已知有AB中点的横坐标为,则,△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形,即,∴p²＋m²＝4p²,,代入y²＝2px中,得点A在抛物线上,故选B.

２．已知抛物线y²＝2px(p＞0),过点E(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于点M,N,交y轴于点P,若,则λ＋μ＝(　　)
　A．1　　　
　C．－1　　D．－2
【答案】C
【解析】
　　由各选项知,λ＋μ为定值,因此可以取,此时将直线MN化为特殊直线,此时点,设点M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),则由得,所以x₁＋x₂＝3p,由
　　
　　
　　
　　
　　故应选C.

３．（2015浙江理5）如图,设抛物线y²=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）．
　　　
　
　
　
【答案】Ａ
【解析】
　　依题意, 故选A．

４．设圆C位于抛物线y²＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为_______．
【答案】
　　
【解析】
　　由题意知当圆C的半径最大时应与x＝3,y²＝2x相切,如图．

由对称性,设圆心C(a,0),半径r＝3－a,
　　∴圆C方程(x－a)²＋y²＝(3－a)²与y²＝2x联立,得
　　x²＋(2－2a)x＋6a－9＝0,
　　Δ＝(2－2a)²－4(6a－9)＝0,
　　
　　

课件：

教案：

1. 教学目标：(1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；

（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。

2. 过程与方法

  学会用类比的思想分析解决问题。

3. 情态与价值观

学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比，了解到事物之间的普遍联系性。

教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
教学方法：学导式，启发式教学过程设计：

教学环节

教学内容

设计意图

1.

温故知新，   引入新课

图形	标准方程	焦点坐标	准线方程
	y2=2px (p>0)
	y2=-2px (p>0)
	x2=2py (p>0)
	x2=-2py (p>0)

通过图表的方式把前面学习的内容复习一遍，这样不但让学生温习了旧知识，而且将对新知识的掌握起到承上启下的作用

2.

新课探讨

以抛物线

y²=2px（p>0）

为例

1.范围

由抛物线y² =2px（p>0）有，又所以

所以抛物线在y轴的右侧。

当x增大时，     也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。所以y的取值范围是

2．对称性

　　以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3.顶点

抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．

4.离心率

　　抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知

标准方程	范围	对称性	顶点	离心率
y2 = 2px （p>0）	x≥0 y∈R	x轴	(0,0)	1
y2 = -2px （p>0）	x≤0 y∈R
x2 = 2py （p>0）	y≥0 x∈R	y轴
x2 = -2py （p>0）	y ≤ 0 x∈R

数形结合，讲解新课，通俗易懂

形因数而精准，数因形而形象。

由此及彼，本表格由学生独立完成，锻炼学生类比，独立自主的能力

3.

三种圆锥曲

线的简单几

何性质比较

学习新知识不忘老知识，比较着学习，总结归纳更容易让学生掌握本课内容。

4.经典例题

例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点     ，求它的标准方程。

解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。所以设方程为：y² = 2px（p>0），又因为点M在抛物线上：，。因此所求抛物线标准方程为：

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)

(x2=2my (m≠0)),可避免讨论

例2.斜率为1的直线  经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。

分析：法一、直线和抛物线联立为方程组，求出两个交点A、B，然后用两点间的距离公式求     的长。

法二、设而不求，利用弦长公式来求      的长。

法三、设而不求，数形结合，利用定义来求      的长。

本题重在考试第三种方法。

如图：设，它们

到准线的距离分别是，

由抛物线的定义可知

所以=+=++P

由题意得过焦点，且斜率为1的直线的方程为y=x-1（1）

化简得

解得

所以: =8

出此题的主要意图是巩固各位学生的基础。此题比较简单，便于各种水平不同的学生掌握。

此题主要是焦点弦问题，求的是焦点弦的弦长。同样很基础，但是方法三很恰当的把抛物线的定义给融合进去，利用定义解决此问题，凸显抛物线与椭圆。双曲线的不同

5.本课小结

1． 范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

2．对称性：抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

3．抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；

4．离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１；

通过小结，让各位同学的知识系统化，结构化，形成自己的知识网络，从而掌握本科知识。

6.练习作业

练习：当堂检测   

作业： 练习案

巩固新鲜的记忆，弥补自己的缺漏。

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