高中数学《3.2 数学探究活动: 生日悖论的解释与模拟》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

[引言]2019版的高中数学教材中，设置了大量新颖的数学探究活动。拟对此进行专项整理，供同学们选用。

[什么是生日悖论]在选择性必修的第二册中引入了“生日悖论”的数学探究活动，其简介如下：

下面，我们来简单的证明有关结论。

[为什么23人时“同生缘”的概率超过50%]为了简单起见，这里假设一年为365天，不考虑闰年和闰月的情况。

假设一组人群中有n个人，其中n≥2。要计算生日都不相同的概率则有：第一个人的生日是365选365，第二个人的生日是365选364，……，依次类推，第n个人的生日是365选365-n+1。因此生日各不相同的概率为，

利用近似计算公式，

令N=365，将上式整理得，

又根据两个重要极限中的第二个，

变形得，

从而有，

于是，生日相同的概率为，

若要P＞0.5，则有

两边取对数，

将N=365代入，并注意到ln2≈0.693。于是有

将右边的值稍微放大，取整数为506。即

解得n≥23，即只要23个人就可以保证“同生缘”的概率大于50%。

[“同生缘”的概率值表和图像表示]当n取其他值时，生日相同的概率近似值如下表所示：

n	11	12	13	14	15
P	13.99	16.54	19.24	22.07	25
n	16	17	18	19	20
P	28.02	31.11	34.24	37.41	40.58
n	21	22	23	24	25
P	43.75	46.89	50	53.05	56.04
n	26	27	28	29	30
P	58.95	61.77	64.5	67.12	69.63
n	31	32	33	34	35
P	72.03	74.31	76.46	78.5	80.41
n	36	37	38	39	40
P	82.2	83.87	85.43	86.87	88.2
n	41	42	43	44	45
P	89.42	90.55	91.58	92.51	93.36
n	46	47	48	49	50
P	94.13	94.83	95.45	96.01	96.51
n	51	52	53	54	55
P	96.96	97.36	97.71	98.02	98.29
n	56	57	58	59	60
P	98.53	98.74	98.92	99.08	99.22

函数的图像如图所示。

需要指出的是，由于采用近似公式进行计算，概率值与精确值有差异。例如，教材中指出，人数达到41人时，“同生缘”的概率超过90%。上表的数据，在人数超过42时，概率超过90%。即

由于365！这个数的数值很大，直接计算会导致结果溢出，所以需要编制计算机程序，每次乘以n/365，结果如图所示。

[生日“悖论”的验证]教材中采用了2014年世界杯球员的数据进行了验证。2021年6月恰逢由于疫情推迟举办的欧洲杯，结果如下：

组别	国家	同生缘对数	是否同生缘
A组	意大利	1	1
土耳其	3	1
瑞士	1	1
威尔士	0	0
B组	比利时	1	1
丹麦	2	1
俄罗斯	2	1
芬兰	1	1
C组	荷兰	1	1
乌克兰	1	1
奥地利	0	0
北马其顿	4	1
D组	英格兰	2	1
克罗地亚	1	1
捷克	0	0
苏格兰	0	0
E组	瑞典	0	0
西班牙	0	0
斯洛伐克	1	1
波兰	4	1
F组	德国	1	1
法国	2	1
葡萄牙	2	1
匈牙利	2	1
	合计	32	18

本届欧洲杯共有24支球队参赛，共分为6个小组。出于防疫的考虑，每队在23人的基础上，可以增加3人随队，但是每场比赛只能有23人报名参赛。

从统计结果可以看出，即使只考虑队内的情况，不考虑各队之间交叉相同的情况，本届欧洲杯生日相同的人员对数也远超预期。24支球队，共有18支球队至少有两人生日相同，即同生缘的概率高达75%。

[后记]本届欧洲杯，各队队内生日相同的人员名单，如下表所示：

序号	所属国家	号码	出生日期	中文姓名
1	意大利	8	1991/12/20	若日尼奥
9	1993/12/20	安德烈•贝洛蒂
2	土耳其	3	1998/3/5	梅里赫•德米拉尔
9	1994/3/5	凯南•卡拉曼
3	土耳其	18	2001/5/21	里德万•伊尔马兹
8	1996/5/21	多鲁克汗•托科兹
4	土耳其	21	1995/7/15	卡赫维奇
17	1985/7/15	布拉克•伊尔马兹
5	瑞士	8	1992/4/15	雷莫•弗罗伊勒
20	1996/4/15	艾迪米尔森•费尔南德斯
6	比利时	18	1995/6/28	杰森•德纳耶尔
7	1991/6/28	德布劳内
7	丹麦	2	1996/5/31	约阿希姆•安德森
18	1989/5/31	丹尼尔•瓦斯
8	丹麦	5	1997/5/20	乔金•迈赫勒
7	1996/5/20	罗伯特•斯科夫
9	俄罗斯	7	1992/11/5	马戈梅德•奥斯多耶夫
24	1997/11/5	罗曼•叶夫根耶夫
10	俄罗斯	20	1989/2/18	阿勒克塞•约诺夫
25	1998/2/18	丹尼斯•马卡罗夫
11	芬兰	11	1991/6/18	拉斯穆斯•舒勒
26	1999/6/18	马库斯•福斯
12	荷兰	22	1996/0418	登泽尔•邓弗里斯
20	1997/4/18	范德贝克
13	乌克兰	13	2002/9/1	伊利亚•扎巴尼
3	2002/9/1	赫尔希•苏达科夫
14	北马其顿	12	1998/9/5	R•扬科夫
9	1992/9/5	A•特拉伊科夫斯基
15	北马其顿	3	1995/2/10	J•扎伊科夫
23	1995/2/10	M•拉德斯基
16	北马其顿	8	1992/2/12	E•阿列奥斯基
13	1992/2/12	S•里斯托夫斯基
17	北马其顿	24	1995/2/20	D•阿夫拉莫夫斯基
19	1988/2/20	K•维尔科斯基
18	英格兰	23	1993/3/25	萨姆•约翰斯通
17	2000/3/16	杰登•桑乔
19	英格兰	2	1990/5/28	凯尔•沃克
5	1994/5/28	约翰•斯通斯
20	2000/5/28	菲尔•福登
20	克罗地亚	16	1991/6/19	什科里奇
9	1991/4/18	安德烈•克拉马里奇
21	斯洛伐克	16	1997/12/13	大卫•汉茨科
23	1996/12/13	马雷克•罗达克
22	波兰	19	1995/4/12	P•佛兰科尔瓦斯基
5	1996/4/12	J•贝德纳雷克
23	波兰	11	1997/1/23	K•斯韦德尔斯基
26	1999/1/23	普沙奇
24	波兰	20	1994/5/20	P•泽林斯基
3	1995/5/20	P•达维多维奇
25	波兰	22	1985/4/18	卢卡什•法比安斯基
1	1990/4/18	沃伊切赫•什琴斯尼
26	德国	13	1992/7/14	乔纳斯•霍夫曼
10	1992/7/14	塞尔日•格纳布里
27	法国	2	1996/3/28	本杰明•帕瓦尔
16	1985/3/28	史蒂夫•曼丹达
28	法国	25	1998/11/12	朱尔斯•孔德
8	1995/11/12	托马斯•勒马尔
29	葡萄牙	6	1983/12/22	丰特
5	1993/12/22	拉斐尔•格雷多
30	葡萄牙	8	1986/9/8	若奥•穆蒂尼奥
11	1994/9/8	布鲁诺•费尔南德斯
31	匈牙利	7	1991/1/15	卢瓦克•内戈
10	1988/1/15	托马斯•切利
32	匈牙利	24	2000/9/27	绍博尔奇•舍恩
22	1987/9/27	亚当•博格丹

最后感概一下，由于近年来娱乐形式的多样化，所以足球的受众大幅度下降。因此本届欧洲杯没有人专门整理球员的详细信息，欧足联的官网上更多的是技术统计和人气排名，各大菠菜网站上更关心球员的年龄、转会记录和薪酬情况。球员的生日需要花功夫一一进行整理。

其次，出于严谨治学的考虑，给出了相关球员的中文姓名。之所以不给出外文原名，主要是考虑到欧洲是个多语种的大陆，即使采用英文姓名也不方便阅读和显示。而中文姓名需要参照官方翻译，而这部分内容同样没有专人进行整理。

最后需要感谢某微博博主和北大某up主，正是由于你们的无私分享，即使是冷门球队（土耳其）和冷僻语言（马其顿语），也能得到相对完整和准确的球员中文姓名。

视频教学：

练习：

课件：

教案：

课程基本信息
课题	数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
教科书	书名：普通高中教科书数学（B版）选择性必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2020 年6月
教学目标
教学目标：能用实验的方法模拟、估计随机事件发生的概率；经历实验、统计、数据处理等活动过程，进一步培养学生合作交流的意识和能力；体会统计与实验的应用价值并在实验过程中体验辩证的思维方法. 教学重点：用实验的方法模拟、估计随机事件发生的概率教学难点：模拟实验的设计和操作过程
教学过程
时间	教学环节	主要师生活动
4min	情景导入	1.1关于“悖论”的理解 1.1.1概念阐述《现代汉语词典》释义：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系. 《逻辑学词典》释义：是指这样一种逻辑上自相矛盾的状况：肯定一个命题，就得出它的矛盾命题.也就是说：如果肯定命题A，就推出非A；如果肯定非A，就推出A. 1.1.2实例二分法悖论. 1.2关于“生日悖论”的理解 1.2.1介绍生日悖论内容：当人群的人数达到23时，至少有两个人生日相同的概率就超过了50%，而人数达到41时，概率超过90%！ 1.2.2生日悖论举例：引例1.世界杯球员生日相同的实例；引例2.生日相同的实例.
15min	探究过程	2.1实验探究 2.1.1收集人群生日数据验证如找多个班的学生、亲人、朋友历史人物等生日资料，计算同一天过生日的数量占总数的百分比. 2.1.2计算机模拟验证假设生日在365天分布是随机的、等可能的（剔除闰年、双胞胎等因素），用计算机软件产生随机数模拟生日资料进行分析． 2.1.2.1确定实验方案（1）数据的选取：易于操作、说明问题．（2）实施建议：①统计当每个数组中数据个数分别为 22，23， 30，31， 40，41，59，60时，出现相同数据的频率．也可以根据自己兴趣调整实验数据．②实验次数尽可能多，并进行多组试验．每组实验记录两个数据：实验成功（有两个数据相同）次数，试验次数；计算实验成功的频率． 2.1.2.2实验过程与结果分享： A组同学：用excel软件，探究的是23人组成的人群中有至少有两人生日相同的概率，每组做了100次实验，共进行了10组重复实验，得到的10个频率数值均在50%左右； B组同学：用python软件，探究的是50人组成的人群中有至少有两人生日相同的概率，每组做了1000000次实验，共进行了10组重复实验，得到的10个频率数值均在97%以上. 2.2概率计算公式探究 2.2.1探究23，41人组成的人群中，至少有两人生日相同的概率值 23人： 41人： 2.2.2得出由（）个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式 2.2.3利用计算机软件计算时的值 2.2.3.1介绍excel中计算方法在A列从第二行起依次输入15，16，60，并在B列第二行键入公式：1-(PERMUT(365,A2)/365^A2)，下拉至第61行，依次就得出了相应的概率值． 2.1.3.2数据分析随着n的增大率不断增加；，每一个概率值可看成一个函数值.
1min	小结解释与分析问题拓展	了解“生日悖论”的相关内容；探索与体验用电脑模拟数据验证结论的过程；尝试用概率计算公式验证相关结论.
1min	作业	做出函数的图像（推荐geogebra做函数图像或徒手描点）；尝试解释：“生日悖论”中生日问题的结论为什么与人们的直觉相差如此之大？