高中数学《4.3.2 独立性检验》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

定义：

利用随机变量K²来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个变量的独立性检验。

分类变量：变量的不同值表示个体所属的不同类别，没有大小之分，像这样的变量称为分类变量。在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，性别，宗教信仰，国籍，是否喜欢数学等等。

列联表：

像下图这样列出两个分类变量的频数表，称为列联表

通过上面列联表可以粗略的预估喜欢数学与否跟性别是否有关系，得到一个初步的结论

另外常用等高条形图来展示列联表中的频率特征，也可以直观上得到一些结论。等高条形图如下：

随机变量K²：

为了能够从定量上分析喜欢数学与否跟性别是否有关系，我们引进了随机变量K²来得到更加准确的结果。

随机变量K²的公式如下：

其中n=a+b+c+d，为样本容量。

备注：

一定要牢记a，b，c，d在列联表中的位置，这样公式才能套的对。

临界值表：

例如，当K=8时，K＞7.879，所以可以得到结论如下：

“有99.5%((1-0.005)*100%)的把握认为，两个变量之间有关系”或者“在犯错率不超过0.5%(0.005*100%)的前提下，认为两个变量之间有关系。”

备注：

如果K≤2.706，就认为没有充分的证据显示两个变量之间有关系

独立性检验的基本步骤：

①根据实际问题需要的可信程度确定临界值k₀；

②利用求K值的公式，计算随机变量K²的观测值K；

③如果K≥K₀，就以(1-P)*100%的把握认为两个变量有关系；否则就说没有(1-P)*100%的把握认为两个变量有关系。

视频教学：

练习：

1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(   )

A.若的观测值为，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B.从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患有肺病

C.若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误

D.以上三种说法都不正确

2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为(   )

A.        B.        C.        D. 

3.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(   )

A.平均数与方差                                B.回归分析
C.独立性检验                                 D.概率

4.为考察某种药物预防疾病的效果,对100只某种动物进行试验,得到如下的列联表:

	患病	未患病	合计
服用药	10	40	50
没服用药	20	30	50
合计	30	70	100

经计算,统计量的观测值.

已知独立性检验中统计量的临界值参考表为:

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

则认为药物有效,犯错误的概率不超过(   )

A.              B.                     C.              D.

5.通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

	男	女	合计
爱好
不爱好
总计

由算得，
附表：

参照附表，得到的正确结论是(   )

A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关"
B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关"
C.有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
D.有以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"

6.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若有的把握认为事件A和B有关系,则具体计算出的数据应该是(   )
A.              B.              C.              D.

7.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开.某市通过随机询问100名性別不同的居民是否能做到“光盘”,得到如下表格:

	做不到“光盘”	能做到“光盘”
男	43	9
女	32	16

附:

	0.10	0.05	0.025
	2.706	3.841	5.024

参照附表,得到的正确结论是(   )

A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

8.分类变量X和Y的列联表如下,则(   )

			总计
	a	b
	c	d
总计

A.越小,说明X与Y的关系越弱

B.越大,说明X与Y的关系越强

C.越大,说明X与Y的关系越强

D.越接近于0,说明X与Y的关系越强

课件：

教案：

课题	独立性检验	课时	1
授课 时间		主备人：
教学 目标	知识与技能： 通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题.
过程与方法：通过探究“吸烟是否与患咽喉病有关系”引出独立性检验的问题。通过列联表、等高条形图,使学生直观感觉到吸烟和患咽喉病可能有关系.这一直觉来自于观测数据，即样本
情感态度与价值观：通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。对问题的自主探究，提高学生独立思考问题的能力；让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性。教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。
教学 准备	ppt
重点 难点	教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
教学难点：1.了解独立性检验的基本思想； 2.了解随机变量K2的含义，K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的。
	教师活动	学生活动	设计意图

创设情景

、

引入新课

课下预习，搜集有关分类变量有无关系的一些实例。

情境引入、提出问题：1、吸烟与患咽喉病有关系吗？

2、你有多大程度把握吸烟与患咽喉病有关？

组织引导学生课下预习问题背景，初步明确定要解决“吸烟与患咽喉病”之间的关系问题.

好的课堂情景引入，

能激发学生求知欲，是新问题能够顺利解决的前提条件之一.

初

步

探

索

、

展

示

内

涵

变量有定量变量、分类变量，定量变量—回归分析;分类变量—独立性检验，引出课题。

问题1、我们在研究“吸烟与患咽喉病的关系”时，需要关注哪一些量呢？

 列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2*2列联表 . 如吸烟与患咽喉病的列联表：

	不患咽喉病	患咽喉病	总计
不吸烟	7775	42	7817
吸　烟	2099	49	2148
总　计	9874	91	9965

问题2：由以上列联表，我们估计吸烟是否对患咽喉病有影响？①在不吸烟者中患咽喉病的比例为________；②在吸烟者中患咽喉病的比例为________.

1，教师通过举例，引入分类变量这个新概念.引出课题2，组织学生填表讨论问题，初步得到问题的结论.

从实际问题出发引入概念，提出问题有利于学生明白我们要学习这节课的必要性。。

教

学

环

节

教  学  内  容

师生

互动

设计

意图

初

步

探

索

、

展

示

内

涵

问题3：我们还能够从图形中得到吸烟与患咽喉病之间的关系吗？

小结：

根据列联表和等高条形图判断的标准是什么?

思考：

1：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患咽喉病有关”的判断?

2：能否用数量刻画出“有关”的程度?

教师引导学生观察等高条形图，寻找解决问题的思路.

通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生不仅仅能够直观感受，更能培养学生具有科学严谨的思维能力.

前置铺垫：

问题4：我们能够从多大程度上认为吸烟与患咽喉病之间有关系呢?

为了解决上述问题，我们先假设

 ：吸烟与患咽喉病没有关系。

用A表示不吸烟，B表示不患咽喉病，则“吸烟与患咽喉病没有关系”等价于“吸烟与患咽喉病有独立”，即假设等价于

在教师的引导下，师生共同探讨处理问题.

引例铺垫理解原理，突破难点

由于要对吸烟与患咽喉病之间有关系进行量化，而从正面处理此问题，困难很大，故可类比反证法来解决

教

学

环

节

教  学  内  容

师生

互动

设计

意图

初

步

探

索

、

展

示

内

涵

	不患	患	总计
不吸烟
吸烟
总计

由表可知，恰好为事件发生的频数；和恰好分别为事件和事件发生的频数，由于频率近似于概率，所以在成立的条件下应该有

问题①；的大小说明什么问题？

因此越小，说明吸烟与患咽喉病之间关系越弱；越大，说明吸烟与患咽喉病之间关系越强。

        为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

，其中为样本容量。

问题②：若：吸烟与患咽喉病没有关系成立，则应该很小。由公式计算得到的观测值为

这个值到底能告诉我们什么呢？

解读临界值表

p(k≥k0)	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706
p(k≥k0)	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.636	7.879	10.828

引导学生依托假设，利用独立性事件的概率公式，从列联表中，推导出判断吸烟与患咽喉病关系强弱的表达式.

通过师生共同探讨与交流.问题①，让学生知道有统一评判标准的必要性。问题②说明观测值的意义.

提出假设，然后再利用我们所学的概率公式对吸烟与患咽喉病之间关系强弱做出初步

判断。

符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法.

解读临界值表，为独立性检验规则的建立做好铺垫，突破难点

教

学

环

节

教  学  内  容

师生

互动

设计

意图

循

序

渐进

、

延

伸

拓展

练习：请思考独立性检验基本思想的形成过程，以小

组交流讨论方式，完成如下表。

反证法	独立检验
要证明结论A	备择假设H
在A不成立的 前提下进行推理	在H不成立的条件下， 即H成立的条件下进行 推理
推出矛盾，意味 着结论A成立	[推出有利于H成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H成立的可能性（可能性为（1－））很大]学生填空.
没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功	(推出有利于H成立的小概率事件不发生，接受原假设)学生填空

教师引导学生比较反证法与独立性检验基本思想的共同点与差异.

让学生对独立性检验基本思想有一个更加深入的理解.

教

学

环

节

教  学  内  容

师生

互动

设计

意图

归

纳

总

结

你能根据上例“吸烟与患咽喉病的案例探究”总结

“独立性检验”的具体做法步骤

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值;

第二步：利用公式计算随机变量K²的观测值k;

第三步：查对临界值表得出结论.

学生在教师的引导下,进行小结.

这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.

反思补遗

反思与补遗

问题1：  2 * 2列联表中的2、3行或第2、3列能交换吗？

问题2：

你能联想随机事件概率的定义来感受卡方统计量公式的来之不易吗？

问题 3：

你能类比方差公式理解卡方统计量公式结构的合理之处吗？

方式1  回忆随机事件A：:掷一枚硬币，正面向上，联想其概率的确定过程。

           大量的重复试验，频率在常数0.5附近摆动并趋于稳定，确定概率。

           类比卡方统计量公式

           应该是通过大量的观察试验并结合我们现在未知的理论研究得来的 

方式2  类比方差公式的结构特征理解卡方统计量公式

方差公式

1，方差公式中取每个样本数据与样本平均数差取平方，这是为防止正负抵消，掩盖真相。

2，公式中的1／n主要是协调作用：因样本容量的不同而使方差的值差异太大，意在取平均。

卡方统计量公式

1，ad － bc≈0 而此处取平方是为了公式的结果是正值，与查对临界值表有关

2，公式中的                       是因为考虑到抽取

样本的不同而K² 的值差异太大，这与协调样本容量的大小有关。

方式3   通过直接计算或等高条形图发现 和     相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。

沟通它们之间的联系，理解卡方公式的合理性

探究完学生还质疑凭空出一个K²是怎样构造出来的为什么如此构造？卡方统计量公式真合理吗？

数学课程要讲逻辑推理，但对有些公式定理不能用也不要求用高中知识作严论证老师该怎处理？

适度推理

数学的学术形态

↓

易于接受的教育形态。

教

学

环

节

教  学  内  容

师生

互动

设计

意图

作业布置

1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想

2. 课本97页  习题3.2  1、2题

作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教.

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